一种非线性系统低复杂度自适应饱和控制方法与流程

本发明涉及一种控制算法，具体涉及一种非线性系统低复杂度自适应饱和控制方法。

背景技术：

在过去的几十年中，人们对非线性系统的自适应控制系统方法的研究越来越有兴趣，如duffing-holmes混沌系统和磁阻电机系统，而且已经取得了显著的研究成果，例如基于自适应神经网络(nn)的控制、扰动严格反馈非线性系统以及基于屏障lyapunov函数(blf)的输出控制，均用于具有未知非线性的严格反馈系统。

在现有的自适应控制方案中，反推技术已经发展成为处理非线性级联系统(也称为严格或纯反馈系统)的有效工具。例如，使用backstepping技术为未知的纯反馈系统开发了基于输入到状态稳定性(iss)的自适应神经控制协议，其中利用径向基函数nn(rbfnn)来近似未知平滑函数。与nn类似，由于其宽的近似容量，已经应用模糊逻辑系统来近似未知的非线性。利用模糊逻辑系统和反演技术，为严格的反馈系统开发了一种有效的自适应模糊控制方案。然而，在递归设计步骤中涉及的虚拟控制器的复杂和繁琐的计算容易引起反步技术的“复杂性爆炸”的问题，这使得保证所开发的控制律的实用性非常具有挑战性，为了减轻这种计算复杂性，通过在传统的反步设计过程中的每个递归步骤中引入一阶低通滤波器来提出动态表面控制(dsc)方法。由于其在解决“复杂性爆炸”问题方面的突出优势，在前人研究中的非线性严格反馈系统和互联非线性纯反馈系统中进一步探讨了dsc方法。虽然计算复杂度可以大大降低，但更新nn或模糊逻辑系统元素的计算量仍然很大，特别是对于高阶非线性系统。为了克服这个问题，针对严格反馈系统的自适应参数较少的最小学习参数(mlp)技术提供了一种降低自适应方案复杂度的替代方法。因此，如何降低自适应控制律的计算复杂度值得进一步研究。

技术实现要素：

根据现有技术的不足，本发明提供一种非线性系统低复杂度自适应饱和控制方法。

本发明按以下技术方案实现：

一种非线性系统低复杂度自适应饱和控制方法，该控制方法如下：首先，采用死区模型将控制饱和非线性转换为相对于实际输入信号的线性模型；然后，将具有时变输出约束的原始系统转换为无约束输出约束，基于该系统，沿滤波后的误差流形设计新的自适应饱和控制律；通过采用最小学习参数技术和虚拟误差概念，只需要在线更新两个自适应参数，大大减少了计算负担。

进一步，模型表示为：

分别代表状态向量和系统输出；

是具有最小阶导数的未知连续非线性函数；

是已知的控制增益，考虑到系统的可控性，它不等于零；分别表示控制输入和未知外部干扰。

进一步，在实际工程应用中，经常遇到致动器饱和，考虑了对称控制约束，i.e.,|u|≤u0,因此，致动器的输出由下式给出

u(t)＝sat(v(t))＝sign(v(t))min{u0,|v(t)|}(2)

其中u0是控制输入的上限，v(t)是将在下文部分中确定的执行器的真正输入，为简洁起见，(t)在此后省略而不引起任何歧义，为了便于控制器设计，公式(2)中的饱和非线性可以转换为相对于线性形式，此表示为

式(3)中是一个正常数，φ(τ)，密度函数，满足是死区算子。

进一步，对于受输入约束的公式(1)，存在可行的实际控制输入v,i.e.,v有界，从而可以实现预期的控制目标；

因此将公式(3)带入公式(1)式得

是复合干扰，因此，该工作的控制目标是跟踪期望式中的输出参考命令yr，同时确保跟踪误差系统的渐近稳定性。在这种情况下，通过参数yr的时变不对称约束，输出y是在预先计划的包络内得出的。得出

式中为上限和下限。

进一步，如公式(5)所示，输出受到约束，这将增加直接设计有效控制器的难度和复杂性；为了克服这个问题，采用了以下输出变换，即

或者

其中z1是转换后的输出变量；

函数应满足以下条件

函数为

然后，基于公式(11)，变换后的输出等于

因此，让然后就可以得到

其中

式中其中是二项式系数。

进一步，基于变换后的系统(13)，将以下过滤后的状态变量定义为

s＝c1z1+c2z2+…+cn-1zn-1+zn(15)

其中存在正常数向量因此，多项式

λⁿ+cn-1λ^n-1+…+c2λ²+c1＝0是hurwitz，λ是拉普拉斯算子。

进一步，自适应饱和控制器被设计为

式中η,μ1,μ2是正常数。分别是未知常数的估计值；

相应的自适应方案是

进一步，在公式(24)和公式(25)下，用渐近稳定性跟踪在由时变约束预先规划的包络内演化的所需输出参考命令。

本发明有益效果：

与现有工作相比，自适应方案的计算量很小，可以保证跟踪误差系统的渐近稳定性，而不是一致最终有界稳定性。所采用的仿真表明，在跟踪精度方面可以获得大约4倍的改进，这证明了所提出的控制律的有效性。

附图说明

图1为没有控制输入的系统的相位图像示意图；

图2为两种控制律下的输出跟踪轨迹示意图；

图3为两种控制律下的输出跟踪误差示意图；

图4为根据两种控制规则控制输入示意图；

图5为两种控制律下的自适应参数示意图；

图6为传统反推控制律下rbfnn的权重wb示意图。

具体实施方式

为使本发明实施的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行更加详细的描述。在附图中，自始至终相同或类似的标号表示相同或类似的元件或具有相同或类似功能的元件。所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。下面结合附图对本发明的实施例进行详细说明。

本发明对于一类考虑时变输出约束，控制饱和和外部扰动的不确定非线性系统，采用mlp和rbfnn方法，研究了一种新的低复杂度自适应控制律。使用mlp技术和虚拟误差概念，对具有时变输出约束的非线性系统的自适应饱和控制研究的工作很少。与现有工作相比，我们的主要贡献有两个：1)在存在时变输出约束，控制饱和和外部扰动的情况下，首先提出了一类新的低复杂度自适应神经饱和控制律，其中，控制饱和非线性与死区模型近似。2)自适应参数的数量减少到只有两个，这不依赖于系统阶数，nn的隐藏节点和模糊逻辑系统的规则数。在这种情况下，计算负荷明显降低，并且在实践中更容易实现相应的控制律。

注释：分别是非负整数，正整数，n维实数和n维正实数的集合。t,||·||,|·|分别代表向量转置，欧几里德范数和标量的绝对值。

1.问题描述以及初步措施

2.1模型描述

本文考虑的系统表示为

分别代表状态向量和系统输出。式(1)中是具有最小阶导数的未知连续非线性函数。是已知的控制增益，考虑到系统的可控性，它不等于零。分别表示控制输入和未知外部干扰。

在包括机器人系统，电力系统等的实际工程应用中，经常遇到致动器饱和。在这项工作中，考虑了对称控制约束，i.e.,|u|≤u0,因此，致动器的输出由下式给出

u(t)＝sat(v(t))＝sign(v(t))min{u0,|v(t)|}(2)

其中u0是控制输入的上限。v(t)是将在下文部分中确定的执行器的真正输入，为简洁起见，(t)在此后省略而不引起任何歧义。为了便于控制器设计，(2)中的饱和非线性可以转换为相对于线性形式，此表示为

式(3)中是一个正常数，φ(τ)，密度函数，满足是死区算子。

假设1：对于受输入约束的系统(1)，存在可行的实际控制输入v,i.e.,v有界，从而可以实现预期的控制目标。

注意1：由于实际系统的可控性，实际控制输入v是有界的，此外，许多功能可以用作包括高斯函数的密度函数。因此在假设1的前提下近似误差是有界的。

因此将(3)带入(1)式得

是复合干扰，因此，该工作的控制目标是跟踪期望式中

的输出参考命令yr，同时确保跟踪误差系统的渐近稳定性。在这种情况下，通过参数yr的时变不对称约束，输出y是在预先计划的包络内得出的。得出

式中为上限和下限，例如假设是具有至少(n-1)阶导数的连续函数，此连续函数为已知和有界的。值得注意的是上面(5)式中的初始输出y(0)或x1(0)也是假定的。

2.2径向基函数nn近似值

径向基函数nn(rbfnn)技术已被广泛用于在紧凑集合上以任意精度近似未知连续函数。对于未知连续值rbfnn的输出具有近似误差。具有近似误差的rbfnn的输出是

式中为是输入向量，其中是最佳权重向量，m是隐藏层的节点数。o(x)是近似误差，其中由高斯核函数表示。

式中表示高斯函数的相应中心和宽度。

对于近似函数(6)，存在理想的权重w^*向量，使得o(x)任意小。为了促进自适应饱和控制器的后续研究，特加了一些假设。

假设2.存在未知的正常数θ其中||w^*||≤θ.

假设3.未知的外部干扰d是有界的，即|d|≤d0中的d0为未知的正常数。

备注2.基于假设2，可以研究的要确定的自适应方案以估计未知常数θ而不是向量w^*的元素，这大大降低了计算量。这种处理方式也称为最小学习参数(mlp)方案[12]。

备注3.假设3是合理的，因为如果外部干扰是无界的，系统(1)将在有界控制输入下失控。

基于上述分析，以下工作主要集中在考虑未知非线性，外部扰动和时变约束的自适应饱和控制器设计上。

3.主要结果

3.1输出转换

如(5)所示，输出受到约束，这将增加直接设计有效控制器的难度和复杂性。为了克服这个问题，采用了以下输出变换，即

或者

其中z1是转换后的输出变量。函数应满足以下条件

函数为

然后，基于(11)，变换后的输出等于

因此，让然后就可以得到

其中

式中其中是二项式系数。

3.2自适应饱和控制器设计

为了继续，基于变换后的系统(13)，将以下过滤后的状态变量定义为

s＝c1z1+c2z2+…+cn-1zn-1+zn(15)

其中存在正常数向量因此，多项式λⁿ+cn-1λ^n-1+…+c2λ²+c1＝0是hurwitz，λ是拉普拉斯算子。

引理1.对于(15)中的滤波状态变量，如果s收敛为零，则为t→∞

然后新定义的跟踪误差z1及其导数zk(k＝2,...,n)以与t→∞相同的收敛速度收敛到零.

证明：(15)的等价变换表示为

其中参数a与(15)中的b相关联。然后求解(16)中的第一个方程得到

等式(17)暗示如果条件是有界的，然后χn-1(t)→0如果t→∞.如果条件是无界限的，对于(17)，使用l'hopital的规则可以产生

因此如果t→∞则s(t)→0，如果t→∞则χn-1(t)→0，和s(t)具有相同的收敛率。同样，对于(16)中的第二个等式，基于(18)，采用l'hopital的规则可以产生

如(19)所示，当t→∞，s(t)→0as,当t→∞χn-2(t)→0与s收敛率相同。对于(16)中的其余方程，通过采用与(17)-(19)相同的过程，可以得到相同的结论。从而，完成了引理1的证明。

取s的时间导数得出

其中由于的未知非线性也是未知的。因此，根据第2.2小节的知识，rbfnn用于近似集总未知函数f^*，由下式给出：

其中根据上面的假设2，可以得出

其中对于复合扰动d^*，在备注1和假设3下，可以获得

式中ψ2:＝β其中β＞0(14)中给出的时变正参数。是一个未知的正常数。基于前述分析，自适应饱和控制器被设计为

式中η,μ1,μ2是正常数。分别是未知常数的估计值。相应的自适应方案是

备注4.控制器有两部分。一个是名义部分：用于稳定跟踪误差系统。

和

另一个是稳定部分，例如

用于进一步补偿未知非线性，外部干扰和控制饱和带来的影响。只需要两个参数来估计rbfnn近似权重向量中涉及的2m个参数。从这个意义上讲，计算负荷急剧下降。

3.3稳定性分析

在设计的控制器(24)下，给出如下重要结果。

定理1.在设计的控制器(24)和自适应方案(25)下，可以用渐近稳定性跟踪在由时变约束预先规划的包络内演化的所需输出参考命令。

证明。首先，构造以下lyapunov函数

v＝v1+v2(26)

其中

式中虚拟错误定义为采用(27)中v1的时间导数得出

将(20)和(24)代入(28)得到

鉴于(22)和(23)，(29)等于

取(27)中v2的时间导数得出

将(30)和(31)代入(26)中的v的时间导数得到

基于(27)中的虚拟错误的定义，然后(32)变为

将(25)代入(33)得到

只有当s＝0时因此，跟踪误差系统渐近稳定，即s→0时相当于t→∞，因此，基于(15)，通过使用引理1，可以获得所有新定义的跟踪误差z1,z2,...,zn收敛为零相当于b.以上完成了定理1的证明。

4.说明案例

为了验证所提出的控制律的有效性，采用二阶duffingholmes混沌系统的模拟。在这个应用实例中，混沌系统如下式表示

式中ω1＝0.3+0.2sin(10t),ω2＝0.2+0.2cos(5t),ω3＝1,q＝5+0.1cos(t),ξ＝0.5+0.1sin(t),|u|≤10,d＝0.4sin(0.2πt)+0.3sin(x1x2).duffingholmes混沌系统的相位图如图1所示。根据备注1，(7)中给出的详细形式的高斯核函数可以用作密度函数的一部分。当选择密度函数时，可以得到ρ0＝12.5仿真参数设置为：在(6)和(7)中yr＝sin(0.5t)+cos(0.25t),y＝yr-exp(-0.3t)-0.45in(5)；m＝50,εi＝0.5+2rand(·)，γi＝[2,-8,6,2]^t(i＝1,2,...,m)；在(15)和(24)中c1＝2,η＝100,μ1＝μ2＝3,为了说明所提出的控制律的有效性，采用传统的反推控制方法作为对比试验，rbfnn的节点数为50，中心在[-1,3]×[-17,1]×[-5,17]×[-2,6]×[-5,7]×[-4,10]上均匀分布，传统反步控制技术中rbfnn的初始权重为wb＝-3+6rand(·)，初始仿真条件为x1＝1.7,x2＝0，相关的模拟结果如图2-6所示。请注意，'asc'和'tbc'分别指的是拟议的控制法和传统的控制法。

从图2-6的仿真结果可以得出以下结论：(i)在30秒之后，所提出的控制律下的输出跟踪误差非常小于传统反步控制定律下的输出跟踪误差(图3中描绘的跟踪精度提高约4倍)。(ⅱ)从图5和图6中，可以发现只需要两个自适应参数来进行更新，而在传统的反步控制律中，wb中有50个元素需要更新。从这个意义上讲，计算负荷急剧下降。

最后应当说明的是:以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非对其限制；尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细的说明，所属领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明的具体实施方式进行修改或者对部分技术特征进行等同替换；而不脱离本发明技术方案的精神，其均应涵盖在本发明请求保护的技术方案范围当中。