一种考虑输入饱和的水面无人艇误差约束控制方法与流程

本发明涉及水面无人艇误差约束控制方法。

背景技术：

目前随着科学技术的进步，对海洋无人载具的研究也有了长足的发展，如水面无人艇、无人水下航行器、自主式水下潜器等纷纷投入实际应用。其中水面无人艇作为一款可行性高、用途广泛的无人载具，可执行海洋环境的监测和资源的开发等多种任务，因此其具有极高的研究价值。目前对水面无人艇常用的控制方法有轨迹跟踪控制、路径跟踪控制、编队控制等等。

轨迹跟踪控制方法是指预先设定好水面无人艇的航行路线，并控制水面无人艇按此轨迹路线航行。这种方法能有效的对单个水面无人艇的航行进行控制，但这种方法在实际中需要考虑多方面的影响因素，如系统不确定性、外界干扰、饱和性问题等等，以上因素均会对控制方法的实际应用产生一定的影响。目前的轨迹跟踪控制方法中虽然已有相关成果考虑了其中的几个因素，但均不够全面，导致对水面无人艇的航行控制准确率低。

技术实现要素：

本发明的目的是为了解决现有对水面无人艇的航行控制准确率低的问题，而提出一种考虑输入饱和的水面无人艇误差约束控制方法。

一种考虑输入饱和的水面无人艇误差约束控制方法具体过程为：

步骤一、建立水面无人艇的闭环系统；

步骤二、对步骤一建立的水面无人艇的闭环系统进行饱和特性的处理，得到考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统；

步骤三、对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行误差约束处理，将误差变量约束在规定范围内；

步骤四、对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行不确定性处理，对未知参数进行估计；

步骤五、基于步骤三的误差约束处理和步骤四的不确定性处理，确定水面无人艇的闭环系统的控制律和自适应律。

本发明的有益效果为：

本发明基于tan形式的障碍lyapunov函数技术为水面无人艇提出了一种考虑误差约束的轨迹跟踪控制方法，从而保证其控制精度，在一定程度上减小了航行时偏离期望轨迹的误差。同时考虑到执行机构的饱和性问题，并利用光滑双曲正切函数去逼近饱和函数，从而进行估计处理。同时还考虑了系统不确定性，并采用神经网络的方法对非线性项进行逼近处理，提高了对水面无人艇的航行控制准确率，解决了现有对水面无人艇的航行控制准确率低的问题。

仿真结果如下图所示，从图2a、2b、2c和图3a、3b、3c中可以看到x1与x2能基本上均能以较高的精度对期望轨迹进行追踪，除了x23追踪效果存在微小的偏差。从图4a、4b、4c和图5a、5b、5c中可看出z1,z2能够在接近0的极小范围内波动。图6显示了误差变量z1的范数形式在约束边界的范围内，即误差约束是有效的。图7a、7b、7c展示了受饱和影响的控制输入，其范围为-300<sat(τi)＜300,i＝1,2,3。仿真结果表明了本发明算法的有效性。

附图说明

图1为本发明流程图；

图2a为x11与x11d轨迹比较图，x11为在大地坐标系下ηx位置的实际轨迹，x11d为在大地坐标系下ηx位置的期望轨迹；

图2b为x12与x12d轨迹比较图，x12为在大地坐标系下ηy位置的实际轨迹，x12d为在大地坐标系下ηy位置的期望轨迹；

图2c为x13与x13d轨迹比较图，x13为在大地坐标系下ηψ位置的实际轨迹，x13d为在大地坐标系下ηψ位置的期望轨迹；

图3a为x21与x21d轨迹比较图，x21为实际的纵荡速度vx，x21d为期望的纵荡速度vx；

图3b为x22与x22d轨迹比较图，x22为实际的横荡速度vy，x22d为期望的横荡速度vy；

图3c为x23与x23d轨迹比较图，x23为实际的艏摇速度vψ，x23d为期望的艏摇速度vψ；

图4a为追踪误差z11轨迹图，z11为大地坐标系下ηx位置的实际与期望轨迹的差值；

图4b为追踪误差z12轨迹图，z12为大地坐标系下ηy位置的实际与期望轨迹的差值；

图4c为追踪误差z13轨迹图，z13为大地坐标系下ηψ位置的实际与期望轨迹的差值；

图5a为追踪误差z21轨迹图，z21为纵荡速度vx的实际与期望轨迹的差值；

图5b为追踪误差z22轨迹图，z22为横荡速度vy实际与期望轨迹的差值；

图5c为追踪误差z23轨迹图，z23为艏摇速度vψ实际与期望轨迹的差值；

图6为对||z1||的误差约束图，||z1||为跟踪误差z1的范数；

图7a为控制输入sat(τ1)图，sat(τ1)为关于纵荡的力矩；

图7b为控制输入sat(τ2)图，sat(τ2)为关于横荡的力矩；

图7c为控制输入z21图，sat(τ3)为关于艏摇的力矩。

具体实施方式

具体实施方式一：结合图1说明本实施方式，本实施方式一种考虑输入饱和的水面无人艇误差约束控制方法具体过程为：

地面坐标系(o-xy)：坐标原点o位于系泊线和系泊终端的连接处，xy轴所在的平面与地面平行。

随体坐标系(o-xy):坐标原点o位于水面无人艇的重心处，x轴沿中纵轴线从船尾指向船首，y轴指向左舷。

轨迹跟踪控制方法：预先设定好水面无人艇的航行路线，并控制水面无人艇按此轨迹路线航行。

tan形式的障碍lyapunov函数法：一种基于势函数思想建立的状态约束控制方法，其通过保证在闭环系统中障碍lyapunov函数的有界性，从而来确保状态不会超过约束条件。其优点在于不仅能够处理有误差约束问题的控制方法，也能应用于无约束要求的控制方案。

饱和函数：由于实际情况，执行机构所能提供的控制输入为z23，τim为τi的边界，其实际控制输入sat(τ)与期望控制输入τ之间存在一个差值δτ，即sat(τ)＝τ+δτ。

双曲正切函数：是一种用于逼近饱和函数sat(τ)的函数，其表达式为

神经网络方法：一种能够充分逼近复杂的非线性项，并进行处理不确定性问题的方法。

为了解决水面无人艇的轨迹跟踪控制问题，并结合实际情况去考虑其中的各个影响因素，本发明提出一种针对水面无人艇系统的考虑输入饱和以及误差约束的轨迹跟踪控制方法。若是实际的轨迹和速度能够满足预先期望的轨迹和速度的同时，不仅误差约束条件满足，而且控制输入能够满足实际的饱和约束情况，则实现了目标水面无人艇的轨迹跟踪控制。

步骤一、建立水面无人艇的闭环系统；

步骤二、对步骤一建立的水面无人艇的闭环系统进行饱和特性的处理，得到考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统；

步骤三、对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行误差约束处理，将误差变量约束在规定范围内；

步骤四、对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行不确定性处理，对未知参数进行估计，不断逼近其实际的真实值；

步骤五、基于步骤三的误差约束处理和步骤四的不确定性处理，确定水面无人艇的闭环系统的控制律和自适应律。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是，所述步骤一中建立水面无人艇的闭环系统；具体过程为：

确定对称正定的惯性矩阵m，向心力和科氏力矩阵c(ν)，以及阻尼矩阵d(ν)；

根据目标水面无人艇的自身性质及水动力参数，可确定上述的m、c(ν)、d(ν)；

基于对称正定的惯性矩阵m，向心力和科氏力矩阵c(ν)，以及阻尼矩阵d(ν)，确定水面无人艇从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵j(η)；

并根据相应情况建立恢复力g(η)和未知干扰w；

建立期望轨迹x1d＝[x11d(t),x12d(t),x13d(t)]^t

其中，x1d为在大地坐标系下ηx、ηy、ηψ位置的期望轨迹；x11d为在大地坐标系下ηx位置的期望轨迹；x12d为在大地坐标系下ηy位置的期望轨迹；x13d为在大地坐标系下ηψ位置的期望轨迹；t为转置；t为时间；

令x1＝η,x2＝ν，建立水面无人艇的动力学模型：

其中，x1为目标水面无人艇相对于地面坐标系的位置分量和航向，x2为目标水面无人艇的纵荡、横荡和艏摇的速度，η＝[ηx,ηy,ηψ]为目标水面无人艇相对于地面坐标系的位置分量和航向；v＝[vx,νy,νψ]为目标水面无人艇的纵荡、横荡和艏摇的速度；为x1关于时间t的一阶导数，为x2关于时间t的一阶导数，j(x1)为水面无人艇从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵，m为对称正定的惯性矩阵，τ为控制输入，c(x2)为向心力和科氏力矩阵，d(x2)为阻尼矩阵，g(x1)为由重力、海流和浮力引起的恢复力，w为外界干扰；

设计虚拟控制函数根据误差变量的定义，得：

z1＝[z11,z12,z13]^t＝x1-xd(2)

z2＝[z21,z22,z23]^t＝x2-α(3)

其中，j为水面无人艇从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵，k11为正的常数，k1为正的常数，kb为||z1||的约束边界，xd为位置的期望轨迹，为xd关于时间t的一阶导数，z1为关于位置的误差变量，z2为关于速度的误差变量，z11为大地坐标系下ηx位置的实际与期望轨迹的差值，z12为大地坐标系下ηy位置的实际与期望轨迹的差值，z13为大地坐标系下ηψ位置的实际与期望轨迹的差值，α为虚拟控制函数；z21为纵荡速度vx的实际与期望轨迹的差值；z22为横荡速度vy实际与期望轨迹的差值；z23为艏摇速度vψ实际与期望轨迹的差值；

结合式(1)、式(2)和式(3)，建立水面无人艇的闭环系统：

其中，为z1关于时间t的一阶导数，为z2关于时间t的一阶导数，为α关于时间t的一阶导数。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是，所述对称正定的惯性矩阵m，向心力和科氏力矩阵c(ν)，以及阻尼矩阵d(ν)的表达式如下：

其中，m为目标水面无人艇的质量，xdu为纵向力关于随体坐标系x轴方向运动的加速度系数，ydv为横向力关于随体坐标系y轴方向运动的加速度系数，ydr为横向力关于随体坐标系z轴方向转动的加速度系数，xg为水面无人艇重心在随体坐标系的纵向位置，ndr为偏航力矩关于随体坐标系z轴方向转动的加速度系数，xu为纵向力关于随体坐标系x轴方向运动的速度系数，xuu为纵向力关于随体坐标系x轴方向运动的二阶速度系数，xuuu为纵向力关于随体坐标系x轴方向运动的三阶速度系数；yv为横向力关于y轴方向运动的速度系数，yvv为横向力关于y轴方向运动的二阶速度系数，yr为横向力关于z轴方向转动的速度系数，yrr为横向力关于z轴方向转动的二阶速度系数，yrv为横向力关于z轴方向转动和y轴方向运动的耦合系数，yvr为横向力关于y轴方向运动和z轴方向转动的耦合系数；nv为偏航力矩关于y轴方向运动的速度系数，nvv为偏航力矩关于y轴方向运动的二阶速度系数，nr为偏航力矩关于z轴方向转动的速度系数，nrr为偏航力矩关于z轴方向转动的二阶速度系数，nrv为偏航力矩关于z轴方向转动和y轴方向运动的耦合系数，nvr为偏航力矩关于y轴方向运动和z轴方向转动的耦合系数，vx,νy,νψ为目标水面无人艇的纵荡、横荡和艏摇速度。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是，所述水面无人艇从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵j(η)的形式为：

其中，ηψ为目标水面无人艇相对于地面坐标系的航向。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是，所述步骤二中对步骤一建立的水面无人艇的闭环系统进行饱和特性的处理，得到考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统(公式11)；具体过程为：

由于在水面无人艇上的执行机构在实际中能提供的控制力和控制力矩是有限的这一工程性问题，选择引入饱和函数这一概念，从而可以在对控制器设计时考虑输入饱和对控制性能的影响。

饱和函数sat(τ)表达式为：

sat(τ)＝[sat(τ1),sat(τ2),sat(τ3)]^t

其中，

τim为τi的边界，sat(τi)为τi的实际控制输入，τi为控制输入；i为第i个量；

基于步骤一建立的水面无人艇的闭环系统(4)，将饱和特性问题考虑进去，则考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统为：

采用双曲正切函数对饱和函数sat(τ)进行估计，表达式为：

其中，h(τi)为τi的期望控制输入；

由饱和函数和双曲正切函数的性质，得

其中，δ(τi)为τi的实际控制输入和期望控制输入之间的差值，tanh(1)为1的双曲正切值，为中间变量，

令由此得

其中，为元素中的最大值；δ(τ)为实际控制输入和期望控制输入之间的差值，sat(τ)为实际控制输入，h(τ)为τ的期望控制输入，n为状态量的维数，为的上界值；

根据中值定理^[1]([1]chenm,jiangb.robustboundedcontrolforuncertainflightdynamicsusingdisturbanceobserver.journalofsystemsengineeringandelectronics2014；25(4):640-647.)，s(z)表达式为：

其中，h(τ⁰)为τ⁰的期望控制输入，τ⁰为中间变量，τi^μ为中间变量，μ为大于0小于1的常数，τi⁰为中间变量，τi^μ＝μτi+(1-μ)τi⁰,i＝1,2,3且0＜μ＜1；

定义则h(τ)明显为正定的；由式(8)得：

h(τ)＝h(τ⁰)+h(τ)(τ-τ⁰)(9)

其中，h(τ)为中间变量；

令τ⁰＝0，h(0)＝0，得

h(τ)＝h(τ)τ(10)

由于h(τ)为严格单调增长，则

根据式(6)和(10)，水面无人艇的闭环系统(4)变为存在输入饱和的水面无人艇闭环系统

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是，所述步骤三中对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行误差约束处理，将误差变量约束在规定范围内；具体过程为：

基于步骤二的存在输入饱和的水面无人艇闭环系统(11)，本方法还考虑了误差约束的问题。现有研究中大多采用障碍lyapunov函数处理状态约束的问题，而所谓障碍lyapunov函数其实是基于势函数思想建立的一种状态约束控制方法，它可以通过保证在闭环系统中界限lyapunov函数的有界性来确保状态不会超过约束条件。

本发明为了进行误差约束，因此设计了一种tan形式的障碍lyapunov函数具体形式为：

其中，v1为lyapunov函数；

其中kb为||z1||的规定界限并且kb是时变的，||z1(0)||＜kb(0)，z1(0)为t＝0时位置的误差变量z1的值，kb(0)为t＝0时||z1||的约束边界kb的值。

其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是，所述步骤四中对步骤二得到的考虑饱和特性的水面无人艇的闭环系统进行不确定性处理，对未知参数进行估计，不断逼近其实际的真实值；具体过程为：

基于步骤二的存在输入饱和的水面无人艇闭环系统，本方法同时考虑了控制中的不确定性问题。由于在水面无人艇的动力学模型(1)中参数m、c(x2)、d(x2)、g(x1)在实际中也许是未知的，为此本发明使用神经网络法处理这些未知参数；

将水面无人艇的闭环系统式(11)改写为

式中为不确定项；

利用神经网络对f进行逼近，得

f＝w^ts(z)+θ(13)

其中，w为理想权矩阵，z为输入向量，θ为估计误差，s(z)为高斯函数为候选的激活函数；

由于w是未知的，因此利用自适应法对理想权矩阵w进行估计，其中用表示w的估计值，表示f的估计值，由此得

真实值＝估计值+误差值，因为不知道真实值是多少，所以只能去估计，再加上误差值，从而逼近真实值。

其它步骤及参数与具体实施方式一至六之一相同。

具体实施方式八：本实施方式与具体实施方式一至七之一不同的是，所述激活函数s(z)＝[s1(z),...,sr(z)]^t；

其中，cj和σj分别代表高斯函数的中心和宽度，r为神经元的数量，sj(z)为激活函数中的一个元素。

其它步骤及参数与具体实施方式一至七之一相同。

具体实施方式九：本实施方式与具体实施方式一至八之一不同的是，所述步骤五中基于步骤三的误差约束处理和步骤四的不确定性处理，确定水面无人艇的闭环系统的控制律和自适应律；具体过程为：

基于步骤二得到的存在输入饱和的水面无人艇闭环系统(11)，以及步骤三的误差约束处理和步骤四的不确定性处理，通过综合上述步骤的结果之后，可将控制输入τ以及对的自适应律设计如下

其中，υ为中间变量；λ为中间变量；kw、k2、k3、γ为正的常数，为的一阶导数；h为元素h1,h2,h3中的最小值，hi为变量的正的下界。

其它步骤及参数与具体实施方式一至八之一相同。

具体实施方式十：本实施方式与具体实施方式一至九之一不同的是，所述中间变量

其中，为与s(z)的乘积的第一个元素，为与s(z)的乘积的第二个元素，为与s(z)的乘积的第三个元素，z21为纵荡速度vx的实际与期望轨迹的差值，z22为横荡速度vy实际与期望轨迹的差值，z23为艏摇速度vψ实际与期望轨迹的差值；

所述中间变量

其它步骤及参数与具体实施方式一至九之一相同。

参数定义

ηx,ηy,ηψ为目标水面无人艇相对于地面坐标系的位置分量和航向；vx,νy,νψ为目标水面无人艇的纵荡、横荡和艏摇速度；m为对称正定惯性矩阵；c(ν)为向心力和科氏力矩阵；d(ν)为阻尼矩阵；g(η)为由重力、海流和浮力引起的恢复力；w为外界干扰；wm为外界干扰的边界；j(η)为从随体坐标系到地面坐标系的非奇异转换矩阵；为对称正定惯性矩阵m的上界；kmi为对称正定惯性矩阵m的下界；τ为期望控制输入；sign(τ)为关于τ的符号函数；sat(τ)为实际控制输入；τm为期望控制输入τ的边界限制；h(τ)为双曲正切函数；δτ为实际控制输入和期望控制输入之间的差值；为中间变量，为元素中的最大值；h(τ)为中间变量，hi为变量的正的下界；f(z)为非线性函数；w为理想常数权值矩阵；θ为估计误差；s(z)＝[s1(z),...,sr(z)]^t为激活函数，cj为高斯函数的中心；σj为高斯函数的宽度；r为神经元的数量；θm为估计误差θ的边界；xd为位置的期望轨迹；x2d为速度的期望轨迹；z1为关于位置的误差变量；z2为关于速度的误差变量；α为虚拟控制函数；kb为||z1||的约束边界；v1,v2,v3,v2^*为lyapunov函数；ε为一个极小的正的常数；υ为中间变量，h为元素h1,h2,h3中的最小值；k1，k2，k3，γ为正的常数；β1为k1,2k2h中的最小值；β2为中的最小值；f为不确定项，z为输入量；为w的估计值；为w与的误差值，为f的估计值；kw为大于的常数；λ为对角矩阵，

水面无人艇的动力学模型：

单点系泊系统的运动和状态变量的定义和测量由地面坐标系和随体坐标系决定。随体坐标系o-xy的坐标原点o位于水面无人艇的重心处，x轴沿中纵轴线从船尾指向船首，y轴指向左舷；地面坐标系o-xy的坐标原点o位于系泊线和系泊终端的连接处，x、y轴与随体坐标系的x、y轴在同一平面内。

3自由度并且是多输入多输出的水面无人艇的动力学模型如下：

其中包括水面无人艇在大地坐标系下的位置(ηx，ηy)和航向角(ηψ)。包括水面无人艇纵荡的速度vx、横荡的速度vy、艏摇的速度vψ。是一个对称正定的惯性矩阵，代表向心力和科氏力扭矩，为阻尼矩阵，g(η)代表由重力、海流和浮力引起的恢复力，w为外界干扰。j(η)为非奇异的转换矩阵，其定义如下：

饱和性闭环系统的建立：

由于实际应用中，执行机构能够提供的控制力和控制力矩通常是有限的，所以在控制器设计时有必要考虑输入饱和对控制性能的影响。饱和函数sat(τ)一般可以表达为如下形式：

sat(τ)＝[sat(τ1),sat(τ2),sat(τ3)]^t(18)

其中τim为τi的边界。

假设1：存在正的常数wm，且外界干扰w满足||w||≤wm。

假设2：存在正的常数km和满足

令x1＝η,x2＝ν，则水面无人艇的动力学模型式(17)可以表示如下：

本发明采用双曲正切函数对饱和函数sat(τ)进行近似，其表达式为：

令δ(τi)代表sat(τi)和h(τi)间的差值，即

δ(τi)＝sat(τi)-h(τi),i＝1,2,3(22)

由饱和函数和双曲正切函数的性质，可得

令由此可得

根据中值定理，h(τ)可表达为：

其中τi^μ＝μτi+(1-μ)τi⁰,i＝1,2,3且0＜μ＜1。

定义则h(τ)明显为正定的。由式(25)可得：

h(τ)＝h(τ⁰)+h(τ)(τ-τ⁰)(26)

选择τ⁰＝0并考虑h(0)＝0，可得

h(τ)＝h(τ)τ(27)

由于h(τ)为严格单调增长，则由式(22)和(27)，系统(20)可改写为

假设3：对于水面无人艇系统，存在可行的输入来满足控制目标。

为了处理水面无人艇系统的输入饱和问题，本发明使用tanh函数来估计符号函数。由上文可知，是一个控制增益函数，其中总体上有但是根据假设3，设计的控制输入τ并非无穷，也就是对于存在正的下界hi，即

tan形式的障碍lyapunov函数的建立：

首先确定轨迹跟踪误差z1＝[z11,z12,z13]^t＝x1-xd，z2＝[z21,z22,z23]^t＝x2-α，其中α为待设计的虚拟控制函数，将其代入式(28)中，则闭环系统转化为：

本发明的目的之一是保证跟踪误差z1在规定界限内，为了便于研究，将问题转化为约束变量z1的范数形式||z1||。则设计出一种tan形式的障碍lyapunov函数为

其中kb为||z1||的规定界限并且kb是时变的，||z1(0)||＜kb(0)。

对v1关于时间求导，可得

令以及其中ε是一个极小的正常数。由式(31)可得

取虚拟控制函数α为：

其中k1为正的常数。

根据式(32)和(33)，可得

选择候补lyapunov函数为

其中h＝min(h1,h2,h3)。

对式(35)关于时间求导，并结合式(29)和(34)可得

由此设计控制律为：

其中k2为正的常数。

将式(37)代入式(36)中，可得

令β1＝min(k1,2k2h)，c1＝0，可得

神经网络法的应用：

然而由于水面无人艇系统的参数m、c(x2)、d(x2)、g(x1)在实际中也许是未知的，因而使得上述的控制律(37)难以实现。为此，本发明使用神经网络法处理这些未知参数。

径向基函数神经网络能够很好的近似非线性函数。对于一个非线性函数f(z)，存在

f(z)＝w^ts(z)+θ(40)

其中w表示理想常数权值矩阵，θ表示估计误差。s(z)＝[s1(z),...,sr(z)]^t代表以高斯函数为候选的激活函数：

其中ci和σi分别代表高斯函数的中心和宽度，r为神经元的数量。

假设4：对于所有z∈ωz，存在一个正的常数θm，即||θ||≤θm。

将式(29)改写为

式中为未确定项。

利用神经网络法对f进行逼近，可得

f＝w^ts(z)+θ(43)

其中w为理想权矩阵，为输入向量，θ为估计误差。

由于w是未知的，因此利用自适应法对其进行估计，其中用表示w的估计值，表示f的估计值，由此可得

控制律和自适应律的确立：

轨迹跟踪控制律以及对的自适应律设计如下

其中以及k2、k3、γ为正的常数。

一致最终有界稳定的证明：

候补lyapunov函数选为

其中

对v3关于时间求导，根据(36)可得

由于tr(ab)＝tr(ba)，可得

将式(43)-(46)以及式(49)代入式(48)，可得

根据条件

υ^tz2≤||υ||||z2||(51)

以及当时，存在

由此可得

根据式(24)以及假设1和4，可得

通过选择可得

由于k1和k2为正的常数，因此，可以得出结论z2和有界。

选择候补lyapunov函数为

对v2*关于时间求导，并结合式(36)，可得

将式(43)-(46)代入式(58)，可得

根据式(41)，可得0≤s(z)≤1，因此有

将式(60)代入(59)，可得

若选择可得

根据假设2，有

将式(63)代入式(61)，可得

令c2＝0，可得

由于当||z1||的初始值满足||z1(0)||＜kb(0)且v1有界时，则可得||z1||≤kb，即实现了误差约束

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

本实施例具体是按照以下步骤制备的：

若是想要实现对水面无人艇的轨迹跟踪控制，除了本发明算法之外，还有自适应滑模轨迹跟踪控制、反步自适应动态滑模控制等控制方法。以下简单介绍几种方案，并将它们与本发明算法进行比较。

自适应滑模轨迹跟踪控制：

此方法针对欠驱动水面无人艇的轨迹跟踪控制问题，考虑了海流等外界干扰的影响，并基于滑模自适应技术而实现对航向角、纵向速度跟踪误差的镇定[²]([2]陈霄,周德超,刘忠,等.欠驱动无人艇自适应滑模航迹跟踪控制.国防科技大学学报2018；43(3):127-134.)。这种方法不仅能够处理海流等外界干扰，并且处理了角速度持续激励的问题，可以同时实现对直线和曲线轨迹的跟踪。但是与本发明算法相比，这种方法并没有考虑执行机构的饱和性问题，并且也没有处理模型的不确定性，这可能导致其在实际应用中可能存在一定误差。

反步自适应动态滑模控制：

此方法针对喷水推进型欠驱动水面无人艇的直线航迹控制问题，设计了一种反步自适应动态滑模控制方法，从而处理了模型参数不确定性和外界干扰随机性的情况^[3]([3]廖煜雷,常文田,刘涛.欠驱动无人艇直线航迹跟踪的反步自适应动态滑模控制.高技术通讯2013；23(6):598-604.)，此方法较好的处理了系统不确定性，具有强鲁棒性和自适应性。但这种方法只处理了水面无人艇的直线航迹控制。而且是与本发明算法相比，没有考虑执行机构的饱和性以及误差约束的问题。

仿真算例

本发明采用的是cybershipii的模型船，这是一个由挪威科技大学的海洋控制实验室建造的测量船的1:70的复制品^[4]([4]kengpengteeandshuzhisamge.controloffullyactuatedoceansurfacevesselsusingaclassoffeedforwardapproximators.ieeetransactionsoncontrolsystemstechnology2006；14(4):750-756.)。

选择的期望轨迹如下：

x1d(t)＝[x1xd(t),x1yd(t),x1ψd(t)]^t

外界干扰假定如下：

w(t)＝[w1(t),w2(t),w3(t)]^t

规定界限kb(t)为：

kb(t)＝2e^-t+0.26

对于本控制方法，选择了11个神经网络节点，即

s(z)＝[s1(z),...,s11(z)]^t

其中，

选择高斯函数的中心平均分布在[-5,5]×[-0.5,0.5]，高斯函数的宽度选为σi＝1,i＝1,...,11，的初始值为

对称正定的惯性矩阵m，向心力和科氏力扭矩c(ν)，以及阻尼矩阵d(ν)如下：

本发明中相应的水动力参数如下：m＝23.8，iz＝1.76，xg＝0.046，xu＝-0.7225，xuu＝-1.3274，xuuu＝-5.8664，yv＝-0.8612，yvv＝-36.2823，yr＝0.1079，nv＝0.1052，nvv＝5.0437，xdu＝-2.0，ydv＝-10.0，ydr＝-0，ndv＝0，ndr＝-1.0，yrv＝2，yvr＝1，yrr＝3，nrv＝5，nr＝4，nvr＝0.5，nrr＝0.8。

其相应的状态初始值为x1(0)＝[0.01,1,-0.012]^t,x2(0)＝[0.8,0.8,-0.1]^t；控制参数k1＝4，k11＝1.1，k2＝600，k3＝60，kw＝0.01，γ＝2000；输入限制τimax＝300,i＝1,2,3

仿真结果如下图所示，从图2a、2b、2c和图3a、3b、3c中可以看到x1与x2能基本上均能以较高的精度对期望轨迹进行追踪，除了x23追踪效果存在微小的偏差。

从图4a、4b、4c和图5a、5b、5c中可看出z1,z2能够在接近0的极小范围内波动。

图6显示了误差变量z1的范数形式在约束边界的范围内，即误差约束是有效的。

图7a、7b、7c展示了受饱和影响的控制输入，其范围为-300<sat(τi)＜300,i＝1,2,3。仿真结果表明了本发明算法的有效性。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。