技术领域本发明属于并联机构的运动学、优化设计研究领域，尤其是基于并联机构的隔振平台的运动性能优化设计。
背景技术：
高精度空间系统的精确指向需要非常安静的环境，空间干涉仪、激光通信设备等高精度航天器需达到纳米级的运动稳定性。要达到这种严格的要求，很多航天器设计和控制方法被用来降低航天器微振动对精密仪器的影响。其中最重要的一种技术是在干扰源和精密仪器之间安装隔振系统。基于Stewart机构的六轴隔振系统是一种较好的解决方案，近年来已有不少研究者开展了关于这种平台的研究。Stewart机构作为一种六自由度并联机构，具有结构紧凑、高刚度、低惯量等优势。然而，迄今为止，振动衰减率和隔振带宽等性能指标仍有很大的提升空间，主要原因之一是隔振平台的运动性能没有达到最优。较差的运动性能使得隔振平台的动力学模型处理与控制器设计更加复杂，难以实现设计效果。因此，为了进一步提高隔振性能，对隔振平台的优化设计是不可或缺的。对于六轴运动平台的优化设计，目前已有很多种运动性能指标这些运动性能指标均依赖于运动学雅可比矩阵。雅可比矩阵反映了系统输入速度与输出速度间的映射关系。传统雅可比矩阵中所有行都是描述空间中某些线的普吕克矢量，包含转动和移动两个部分。由于移动和转动的物理单位不一致，传统雅可比矩阵一般是非均匀的。基于尺度非均匀雅可比的优化设计会导致不合理的结果。众多研究者采用了多种方法致力于解决这个问题，主要分为两类，尺寸缩放法和分离矩阵法。尺寸缩放法是将雅可比矩阵除以一个长度值，得到尺度均匀的雅可比矩阵，该比例值也被称为特征长度、自然长度等。例如，Ma等将动平台的中心到该平台的关节的距离作为缩放比例值。Kim等和LIU等使用动平台上的三个点描述其位置和姿态，导出尺度均匀雅可比矩阵，属于隐式的比例缩放法。KHAN等建议将缩放比例值作为设计变量进行优化。分离矩阵法是将雅可比矩阵分离成转动和移动两个部分，对两个部分分别进行优化。例如，Cardou等中采用该方法定义了两个运动灵敏性指标：最大转动和最大移动。目前雅可比矩阵均匀化的问题仍没有彻底解决，尺寸缩放法涉及如何确定缩放值的问题，现在仍没有一个准则，而分离法无法同时兼顾六轴平台转动和移动的性能的最优化。尺度缩放法是一个比较合理且应用广泛的方法，目前缺少确定缩放因子的标准。尺度不均匀性的根源在于刚体平动和转动的数学表示的不一致性，这使得转动和移动的量纲不一致。例如，经常地，刚体平动用三维矢量表示，刚体转动则用欧拉角表示。为了解决这个问题，需要采用统一的数学工具对刚体的转动和移动进行参数化。隔振平台是一个微纳运动机构，具有六个自由度运动能力，各自由度之间有很强的运动耦合性。为了提高动力学建模和线性化的精度，增强隔振平台主动控制的效果，必须将平台的运动耦合性降低到最小。故，需要一种新的技术方案以解决上述问题。
技术实现要素：
本发明的目的是针对现有技术存在的不足，提供一种六轴隔振平台优化设计的方法和结果。为解决上述问题，本发明的六轴隔振平台优化设计可采用如下技术方案：一种基于对偶四元数的多轴并联机构的尺度均匀雅可比矩阵生成方法，所述的多轴并联机构包括上平台、下平台及连接上、下平台的六个并联的伸缩杆，其特征在于，该方法包括如下步骤：(1)、将刚体的转动用四元数表示：对于一个四元数q，如果||q||＝1，称该四元数为单位四元数，单位四元数集合关于四元数乘法是一个群为了说明单位四元数与特殊正交群的关系，定义了一个单位四元数其中，n为单位矢量，θ为刚体旋转轴的幅值，刚体旋转轴由单位矢量n及其幅值θ确定；对于任意乘积而且映射x→εxε*:与转动R(θ,n)是等价的；其中，x为转动矢量，R为刚体转动唯一的转动矩阵；(2)、将刚体的移动用四元数表示：为了建立刚体移动与单位四元数的联系，借助对偶四元数表示特殊欧氏群的思想，根据刚体的位移矢量t和表示单位转动四元数ε构造一个四元数这两个四元数ε、λ要满足单位对偶四元数的两个约束方程：式中表示四元数实部；由刚体的位移矢量t和四元数ε可以这样构造四元数λ：λ＝c1tε,或者λ＝c2εt式中c1和c2是任意非零常数；(3)、尺度缩放因子的标准：由于四元数是赋范代数，可以用四元数的模进行度量，因此，将尺度缩放因子的标准定义为两个四元数范数之比d＝||ε||/||λ||；(4)、根据上述尺寸缩放因子的确定，将该尺寸缩放因子d导入多轴并联机构的尺度均匀的雅可比矩阵，得到多轴并联机构尺度均匀的雅可比矩阵的结果Jd=-(∂F∂L)-1∂F∂X(d)diagI.]]>X＝(ελ)T表示末端执行器的转动和移动，是末端执行器的位姿坐标，末端执行器的广义速度用表示，矢量L表示驱动关节的坐标，是驱动速度。相对于现有技术，本发明采用了四元数来进行刚体转动和刚体移动的物理量统一，对于统一中产生的尺寸缩放问题，同样可以直接使用四元数的范数之比进行尺寸缩放因子的确定，由于不管是转动和移动物理量还是尺寸缩放因子均是使用四元数作为参数表示，从而对于刚体的转动和移动进行采用统一数学工具的参数化，能够对六轴隔振平台的设计进行优化。进一步的，根据上述方法，实现六轴隔振平台的尺度均匀雅可比的导出，运动性能优化过程与结果：(1)、六轴隔振平台的尺度均匀的雅可比矩阵的结果六轴隔振平台的尺度缩放因子是d＝||ε||/||λ||＝1/||t||，是两个平台的原点距离的倒数；六轴隔振平台的尺度均匀雅可比矩阵的具体形式为：Jd=(b1f1-f1a1)T/||t||l1f1T/l1......(b6f6-f6a6)T/||t||l6f6T/l6;]]>式中，ai(i＝1,2…6)和bi(i＝1,2…6)分别是隔振平台的上、下球铰的位置矢量，fi＝λ+εai-biε(i＝1,2…6)，是自定义四元数。(2)六轴隔振平台的优化过程求解设计变量ra、rb、α和β，使得雅可比矩阵条件数：κ(Jd)=Δσmaxσmin,κ(Jd)≥1]]>达到最小值设计变量需满足约束条件：h＝1,ra≥0,rb≥0,0≤α≤2π/3,0≤β≤2π/3；平台半径为ra，基座半径为rb，上平台、基座间无转动时，两者间高度为h，α和β分别为上、下平台相邻球铰位置的圆心角；计算出Jd的所有奇异值：σ1(Jd)=6(1+y2)/l0,σ2(Jd)=26z/l0]]>σ3(Jd)=σ4(Jd)=3(x+y-4w2+x2-2xy+y2)/2l0,]]>σ5(Jd)=σ6(Jd)=3(x+y+4w2+x2-2xy+y2)/2l0]]>式中w=ra2-rb2,x=ra2+rb2+2rarbcos[(α-β)/2],]]>y=ra2+rb2-2rarbcos[(α-β)/2],]]>z＝(rarbsin[(α-β)/2])2，l0=1+ra2+rb2-2rarbcos((α-β)/2)]]>由于交换参数α和β的值，或者交换ra和rb的值，σi(Jd)(i＝1,2…6)保持不变；而且，当α＝β时，σ2(Jd)＝0，机构奇异；因此在原优化问题的基础上增加两个约束条件以减小搜索的空间，提高优化效率：α<βra≤rb;]]>(3)六轴隔振平台的优化结果最优设计参数为ra＝0.84,rb＝0.84,α＝0,β＝2π/3；从优化结果可以看出，运动学各向同性最优的Stewart机构是一个3-3SPS构型，上、下平台上有三对球铰的位置重合。隔振平台等比例缩放时，各项同性性能保持不变。附图说明图1是本发明中六轴隔振平台的几何描述图。图2是本发明中优化算法收敛过程图。图3是本发明中隔振平台的最优构型图。具体实施方式下面结合附图和具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。1对偶四元数与尺度均匀的雅可比矩阵在数学与力学中，对偶四元数的集合是一个Clifford代数，能够与旋量、4×4齐次变换矩阵进行相互转化，可以用于表示空间刚体的位移。对偶四元数是两个四元数的有序对，实数部分的四元数表示转动，对偶部分的四元数包含了移动。但是，直接将单位对偶四元数作为隔振平台末端执行器的位姿坐标时，导出雅可比矩阵仍然是非均匀的，这是几何的几何性质决定的。于是，我们将对偶四元数和尺度缩放法结合，导出一般并联机构的尺度均匀雅可比矩阵。刚体转动可由唯一的转动矩阵表示。R是由旋转轴决定的线性运算，旋转轴由单位矢量n及其幅值θ确定。当指定这些元素时，转动可以表示成R(θ,n)。为了描述矢量x绕n的转动，我们将x分解为两部分：x＝(x·n)n+(n×x)×n(1)由于矢量n，n×x和(n×x)×n是相互正交的，那么矢量x的转动为：R(x)＝(x·n)n+R[(n×x)×n]＝(x·n)n+(n×x)sinθ+[(n×x)×n]cosθ(2)上述方程也可写成广为人知的Euler-Rodrigues形式R(x)＝x+(n×x)sinθ+[n×(n×x)](1-cosθ)(3)考虑集合其元素时由一个矢量q和一个标量q0组成的对(qq0)，表示为：q＝(qq0)＝(q1q2q3q0)或q＝q1i+q2j+q3k+q0。其中，i2＝j2＝k2＝-1，且ij＝-ji＝k，jk＝-kj＝i，ki＝-ik＝j。那么，对于任意q＝(qq0)和p＝(pp0)，四元数积(q,p)→qp＝(q0p+p0q+q×pq0p0-q·p)(4)是q,p的双线性型。该运算是可结合的，由于包含叉积而不可交换，这使得是一个结合代数。具有这种结构的集合命名为其元素称为四元数。一个四元数q＝(q,q0)的组成部分q和q0分别看成是q的虚数部分和实数部分与复数不同的是，q的虚部则是上的矢量。更重要的是，一个上的矢量也是一个实部为零的四元数，满足四元数所有的运算法则。四元数q*＝(-q,q0)称为是q＝(q,q0)的共轭。映射q→q*是矢量空间的自同构，由于(qp)*＝p*q*，则是代数结构的反自同构。由于是两个正数的和，那么定义一个四元数的范数为标量是合理的。显然，当且仅当q＝0时，||q||＝0。而且，对任意||pq||2=(pq)(pq)*=(pq)(q*p*)=p(qq*)p*=(pp*)||q||2=||p||2||q||2---(6)]]>这意味着范数的存在使为一个赋范代数。对于一个四元数q，如果||q||＝1，那么称该四元数为单位四元数，单位四元数集合关于四元数乘法是一个群为了说明单位四元数与的关系，定义了一个单位四元数对于任意乘积而且映射x→εxε*:与转动R(θ,n)是等价的。根据以下计算：εxε*＝((x·n)n+(n×x)sinθ+[(n×x)×n]cosθ0)(7)可以看出方程(7)和方程(2)是一致的。为了建立刚体移动与单位四元数的联系，借助对偶四元数表示的思想，根据位移矢量t和表示单位转动四元数ε构造一个四元数这两个四元数要满足单位对偶四元数的两个约束方程：由矢量t和四元数ε可以这样构造λ：λ＝c1tε,orλ＝c2εt(9)式(9)中c1和c2是任意非零常数。由于四元数是赋范代数，可以用四元数的模进行度量，因此，将尺度缩放因子的标准定义为两个四元数范数之比是合理的d＝||ε||/||λ||(10)在机构学中，经常用到矢量空间欧几里得范数和四元数范数之间的运算。如果把四元数看成中元素，那么四元数范数具有上的欧几里得范数的意义。定义四元数的内积·：的运算如下(q,p)→q·p＝q0p0+q1p1+q2p2+q3p3(11)由于四元数共轭、范数和内积是线性算子，得到从运动学方程中提取雅可比矩阵的变换式：(q+p)(q*+p*)=(q+p)·(q+p)p·(qr)=(q*p)·r=(pr*)·q---(12)]]>对于一般六轴并联机构，用X＝(ελ)T表示末端执行器的转动和移动，是末端执行器的位姿坐标，末端执行器的广义速度用表示，矢量L表示驱动关节的坐标，是驱动速度。并联机构的广义雅可比J是和之间的线性映射矩阵：L·=JX·---(13)]]>首先建立并联机构的闭环位姿方程：F(L,ε,t)＝0(14)计算方程(14)的时间导数，结合式(9)，可以得到关于和的方程：∂F∂LL·+∂F∂XX·=0---(15)]]>对于并联机构而言，矩阵一般是可逆的，可以得到J=-(∂F∂L)-1∂F∂X---(16)]]>根据尺度缩放因子的定义(10)和广义雅可比矩阵(16)，导出尺度均匀的雅可比矩阵：Jd=-(∂F∂L)-1∂F∂X(d)diagI---(17)]]>2六轴隔振平台的尺度均匀雅可比矩阵六轴隔振平台是以Stewart机构为基础设计的，如图1所示。平台上将安装控制力矩陀螺或敏感载荷，基座将安装在卫星体上。平台与基座之间通过球铰与六条腿相连。每条腿中分别安装一个作动器。上、下球铰均安装在一个平面内，按圆周分布。平台半径为ra，基座半径为rb，上平台、基座间无转动时，两者间高度为h。建立两个直角坐标系：全局坐标系Oxyz和局部坐标系O’x’y’z’。Oxyz固结在基座圆心处，O’x’y’z’固结在平台圆心处。平台球铰中心在Oxyz中的位置记为矢量ai(i＝1,2…6)，基座球铰中心点在Oxyz中的位置记为矢量bi(i＝1,2…6)。平台相对基座的转动矩阵R用单位四元数ε参数化，意味着Rai＝εaiε*。O’x’y’z’相对于Oxyz的位置用矢量t表示，每条腿的长度用li(i＝1,2…6)表示，方向用单位矢量ei(i＝1,2…6)表示。首先根据图1中的闭环矢量图，建立隔振平台的闭环位置方程liei＝t+εaiε*-bi(i＝1,2…6)(18)方程(18)中εaiε*是矢量ai在坐标系Oxyz中的坐标表示。按照式(9)构造另一个四元数λ＝tε，将方程(18)右乘ε，得到lieiε＝λ+εai-biε(i＝1,2…6)(19)为了消除方程(19)中的矢量ei，注意到，且那么因此，计算方程(19)与自身的内积，得到li2=(λ+ϵai-biϵ)·(λ+ϵai-biϵ),(i=1,2...6)---(20)]]>为了得到隔振平台输入速度与平台速度的关系，将方程(20)对时间求导，定义四元数fi＝λ+εai-biε(i＝1,2…6)，化简可得lil·i=fi·(λ·+ϵ·ai-biϵ·),(i=1,2...6)---(21)]]>下面从方程(21)中分离出和根据变换式(12)，可得和进一步得到关于隔振平台输入速度和末端执行器广义速度的显式形式方程(22)与(15)有相同的形式。此时，广义雅可比矩阵是一个6×8的矩阵J=(b1f1-f1a1)T/l1f1T/l1......(b6f6-f6a6)T/l6f6T/l6---(23)]]>尺度缩放因子是d＝||ε||/||λ||＝1/||t||，恰好是两个坐标系的原点距离的倒数。最终，导出空间六轴隔振平台的尺度均匀雅可比矩阵Jd=(b1f1-f1a1)T/||t||l1f1T/l1......(b6f6-f6a6)T/||t||l6f6T/l6---(24)]]>尺度均匀的雅可比矩阵Jd仍是一个6×8矩阵，每一行不再是空间中某些线的普吕克矢量，而是隔振平台的腿长矢量和对偶四元数的组合。目前已经无法看出其在三维空间中的物理或力学含义，然而由于Jd中元素的量纲为1，因此该矩阵的六个奇异值是无量纲的，不会随着物理单位的变化而变化，下面将基于此给出隔振平台的优化过程和结果。3优化问题隔振平台每条腿独立的运动都会使平台的位置和姿态产生变化，各运动自由度之间有很强的耦合性。强耦合性将降低动力学方程线性化的精度，增大系统控制的难度。为了降低隔振平台的运动耦合性，选择运动学各向同性作为隔振平台的性能优化指标。同时考虑到隔振平台仅有几微米的运动空间，只需优化该平台处于初始工作位置的几何参数，此时的优化指标称为局部运动学各向同性。为了减少优化设计变量的个数，平台和基座上球铰中心的位置按照循环对称的方式布置在两个圆上。隔振平台处于初始工作位置时，t＝(00h)T。因此，隔振平台的几何结构可以由参数ra、rb、α、β和h完全确定，如图1所示。由于Jd是无量纲的，隔振平台进行等比例缩放时，Jd始终保持不变。于是，与尺度缩放法类似，将设计变量的尺度缩放因子设定为平台的高度h，相当于将隔振平台等比例缩放至h＝1。这样不仅去除了优化设计变量的量纲，而且使五维空间的优化问题缩减为四维问题，减小了优化计算的时间。因此，隔振平台的优化设计问题可以这样表述：求解设计变量ra、rb、α和β，使得雅可比矩阵条件数κ(Jd)=Δσmaxσmin,κ(Jd)≥1→min---(25)]]>其中，σmin和σmax是尺度均匀雅可比矩阵Jd在初始工作位置时的最小和最大奇异值。当κ(Jd)接近1时，隔振平台在所有方向的运动更均匀、更独立。当κ(Jd)接近无穷大时，表明隔振平台靠近奇异位姿，变得更不可控。各向同性指标不仅可以使该平台的运动耦合性降低，同时使其避开的奇异位姿。设计变量需满足约束条件h＝1,ra≥0,rb≥0,0≤α≤2π/3,0≤β≤2π/3(26)第一个约束h＝1可以保证平台和基座处理分离状态，即li＞0(i＝1,2…6)，隔振平台不会出现关节奇异。约束ra≥0和rb≥0确保了非负结构尺寸。约束0≤α≤π/3和0≤β≤π/3能避免隔振平台的六条腿相互干涉。4优化过程与结果本节将给出按局部运动学各向同性指标对隔振平台优化设计的结果。首先根据第4节中对优化问题的设定，将尺度均匀雅可比矩阵Jd中的元素用设计变量表示，即确定腿长li(i＝1,2…6)和四元数fi(i＝1,2…6)的表达式。平台和基座上球铰点的位置在各自坐标系中的位置ai(i＝1,2…6)和bi(i＝1,2…6)由设计变量ra、rb、α和β确定：a2i-1=racos(-α2+2π3(i-1))sin(-α2+2π3(i-1))0a2i=racos(α2+2π3(i-1))sin(α2+2π3(i-1))0b2i-1=rbcos(-β2+2π3(i-1))sin(-β2+2π3(i-1))0b2i=rbcos(β2+2π3(i-1))sin(β2+2π3(i-1))0,(i=1,2,3)---(27)]]>隔振平台处于初始工作位置时，t＝(001)T，此时转动和移动四元数分别为ϵ=0001λ=0010---(28)]]>根据式(20)，并且考虑到ai·λ＝0和bi·λ＝0，我们得到腿长li和四元数fili=1+(ai-bi)2fi=aix-bixaiy-biy10,(i=1,2...6)---(29)]]>六个腿长li互相相等，我们用l0=1+ra2+rb2-2rarbcos((α-β)/2)]]>表示。将式(29)代入(24)，容易得到尺寸均匀雅可比矩阵Jd的形式。尽管Jd矩阵中项目较多，但是是一个稀疏矩阵，且Jd的奇异值σ(Jd)是的特征值的平方根，可以根据确定条件数的变化规律。JdTJd=1l023x3w3x-3w24z6y26y-3w3y3w3y6y60---(30)]]>上式中w=ra2-rb2,x=ra2+rb2+2rarbcos[(α-β)/2],]]>y=ra2+rb2-2rarbcos[(α-β)/2],]]>z＝(rarbsin[(α-β)/2])2。进一步，我们计算出Jd的所有奇异值σ1(Jd)=6(1+y2)/l0,σ2(Jd)=26z/l0]]>σ3(Jd)=σ4(Jd)=3(x+y-4w2+x2-2xy+y2)/2l0,---(31)]]>σ5(Jd)=σ6(Jd)=3(x+y+4w2+x2-2xy+y2)/2l0]]>式(31)中的奇异值没有按照从大到小的顺序排列。可以看出，若交换参数α和β的值，或者交换ra和rb的值，σi(Jd)(i＝1,2…6)保持不变。而且，当α＝β时，σ2(Jd)＝0，机构奇异。因此，我们可以在原优化问题的基础上增加两个约束条件以减小搜索的空间，提高优化效率：α<βra≤rb---(32)]]>尽管我们已经得到所有奇异值的符号形式，但是各奇异值的大小仍难以判断。对条件数的优化只能通过数值方法进行。我们采用MATLAB提供的遗传算法工具箱对该问题进行数值优化，经过90次循环计算后，条件数κ(Jd)收敛至2.06，过程如图所示。最优设计参数为ra＝0.84,rb＝0.84,α＝0,β＝2π/3(33)从优化结果可以看出，运动学各向同性最优的Stewart机构是一个3-3SPS构型，上、下平台上有三对球铰的位置重合，如图3所示。隔振平台等比例缩放时，各项同性性能保持不变。