一种面向三维打印的自支撑结构设计方法与流程

本发明涉及结构优化的技术领域，尤其涉及一种面向三维打印模型的拓扑结构设计。

背景技术：

近年来，三维打印技术在日益发展，其在制造业的地位也日益增高，几乎任意形状的三维模型都可以进行生产。该技术的原理是使用粉末状塑料或金属材料，根据计算机输入的数字模型文件，逐层堆积打印制造。三维打印过去常用于一些传统方法无法制造的产品，往往是一些“高精尖”产品，如人的骨头，或者是一些飞机的零部件。这些产品都有一些共同的特点，精度高和难制造，并且都是小批量生产。现如今，该技术已经走向了大众，一台普通的三维打印机的成本已经可以被人们所接受。其用途也更加广泛，尤其是个性化定制，用户可以根据自己的需求设计模型，然后进行打印。总的来说，对于复杂的结构，三维打印便是最佳的制造工具。

拓扑优化方法的原理是基于外载和约束的条件下，在制定的区域内对材料分布进行优化，使最终结构的力学性能到最优。相比于传统的尺寸优化和形状优化方法，具有更多的自由度，给了产品设计非常大的设计空间，在工业上有着广泛的应用价值。拓扑优化问题的求解方法是把求解区域离散化，分割成有限个单元，然后根据一些优化算法来确定设计空间内单元的去留，保留下来的单元就是最终设计出的最优结构。

随着“节能环保”越来越成为了广泛关注的话题，轻量化也广泛应用到工业制造领域，在保证产品性能的同时还能减少制造的材料。以汽车制造为例，汽车的总质量和发动机的排量决定了其油耗的多少，在保证汽车性能的前提下，重新设计轻量化的结构，降低汽车自身重量不仅可以节省材料、降低制造成本和使用时的功耗，而且其操控性和安全性也会有很大的提高。

对于一个复杂的轻量化三维模型，拓扑优化为其结构设计提供了理论基础，三维打印为其生产制造提供了技术保障。但是，三维打印技术还存在着一些局限性。由于三维打印本身的性质，在打印过程中，常常会出现结构坍塌的现象，导致打印失败。为了解决这种问题，需要对打印的结构进行处理，增加一些支撑材料，在打印完成之后再将其人工去除。这样一来，打印过程会浪费许多材料，消耗更多的打印时间。另一方面，对于打印好的模型进行人工处理支撑也是非常耗时和繁琐的过程，有些情况下甚至无法去除。

技术实现要素：

针对上述三维打印所存在的问题，本发明提供一种面向三维打印的自支撑结构设计方法，该方法简便可行，可以高效地扫描结构中无法支撑的单元，直接转化为拓扑优化中的约束条件，设计出可以直接打印的自支撑结构。

本发明的面向三维打印的自支撑结构设计方法，包括使用卷积方法对原结构扫描，确定出最佳打印方向并获得此方向下无法自支撑的单元，作为结构拓扑优化的限制条件，求解获得自支撑结构。

该方法具体如下：

1)对于给定的涉及区域、外部载荷以及体积比，使用传统的拓扑优化方法进行初步求解，得到一个临时结构；

2)使用卷积方法对该结构进行扫描，选择出最优的打印方向，且找出此方向下无法自支撑的单元，

3)以该卷积内核矩阵对结构进行卷积操作，将获得的非支撑集合中单元对应的密度平方和小于阈值作为限制条件，对结构拓扑优化进行求解，并迭代直至收敛，最终可以将所有无法自支撑的单元全部去除，得到所需的自支撑结构。

进一步地，上述步骤2)具体为：根据初始给定可能的打印方向，定义各打印方向相应的卷积内核矩阵，对于每一个可能的打印方向，将其卷积内核矩阵与初始结构进行卷积操作，确定对应非支撑集合中单元的数目，选取所有可能打印方向中该数目最小的为最佳打印方向，获得相应的卷积内核矩阵。

进一步地，上述的步骤3)具体如下：

以结构的柔顺度c(u,ρ)作为目标函数，定义如下：

c(u,ρ)＝u^TKu

其中ρ是结构的单元密度组成的向量，u是全局位移向量，K是全局刚度矩阵。拓扑优化问题可以表示为如下形式：

F(ρ)是节点应力向量，V(ρ)和V₀是材料的体积和求解域的总体积，f是设计指定的体积分数，

以最佳打印方向对应的卷积内核矩阵对结构进行卷积操作，将获得的非支撑集合中单元对应的密度平方和小于阈值作为限制条件，即：

其中，是非支撑单元的集合，ε是一个接近0的值；

使用MMA算法求解上述优化问题。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

对于自支撑限制的拓扑优化问题的求解，本发明方法在常用的SIMP方法上进行改进，添加自支撑的约束条件，其在求解域上是光滑的，可以对其求偏导，以便后续优化时使用。此外本发明采用卷积方法避免了直接根据非支撑集合的定义来遍历寻找非支撑单元，提高了求解性能，可对复杂模型进行求解。本发明的方法设计出的结构无需再增加支架，可以直接打印，同时还拥有良好的力学性能。

附图说明

图1是二维自支撑示意图；

图2是三维自支撑示意图；

图3是二维卷积内核矩阵；

图4是三维卷积内核矩阵；

图5是本发明具体实例--二维悬臂梁问题的求解域和边界条件；

图6是采用SIMP方法及本发明方法的结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实例对本发明做进一步说明。

本发明的面向三维打印的自支撑结构设计方法，是使用卷积方法对原结构扫描，确定出最佳打印方向并获得此方向下无法自支撑的单元，作为结构拓扑优化的限制条件，求解获得自支撑结构。

(1)定义自支撑

根据前人的对三维打印的研究可以知道，最大可以悬挂的支持角度为45度。对此，可以从数学角度对其进行定义。

在二维情况下，对于求解域中的一个单元，e(n,m)，1≤n≤N,1≤m≤M，其中e(n,m)等于0或者1，n,m分别是x,y方向的坐标。一个单元所对应的支撑单元如图1所示，该结构所对应的支撑集合可以表示为：

其中为该结构对应所包含的单元。

类似的，在将三维的设计空间离散化之后，结构便是由一个个的体素单元所组成。求解域中的一个元素为e(n,m,l)，1≤n≤N,1≤m≤M，1≤l≤L,其中e(n,m,l)等于0或者1，n,m,l分别是是x,y,z方向的坐标。

对于一个三维模型，其单元组成的集合由所表示，

三维模型中自支撑扫描如图2所示，对于一个给定的单元e(n,m,l)，和它对应的支撑集合是下面五个单元。由此，该结构M对应的支撑单元的集合表示为

在二维和三维的情况下，该结构对应的非支撑单元的集合都可以表示为为原结构集合和支撑集合之差，即

(2)自支撑扫描

如果直接根据非支撑集合的定义来遍历寻找非支撑单元，会非常的繁琐和耗时，其复杂度会随着模型分辨率的提高而增大。在优化过程中，每一次迭代都需要寻找出非支撑单元，由此本发明分别在二维和三维设计出了内核矩阵，将其与原结构矩阵进行离散卷积操作，就可以得到支撑元素的集合。经过实验测试发现，性能可以提升了一百倍以上。

卷积内核矩阵需要根据打印方向来确定，在二维情况下，当打印方向是从下向上，该内核矩阵如图3所示。打印方向不同时，卷积内核矩阵不同，具体如下表所示：

使用原结构矩阵与其进行卷积操作后，再经过符号函数运算就可以得到该结构对应的支撑集合。

其中H为卷积内核矩阵，sign(x)为符号运算，表示为

三维情况下的处理方式类似，假设打印方向是从上向下，该内核矩阵如图4所示。

最后，根据可以得到迭代优化中所需要的非支撑集合。

(3)数学形式

对于自支撑限制的拓扑优化问题的求解，我们在常用的SIMP方法上进行了改进，添加了自支撑的约束条件。和一些使用过滤器来控制自支撑的方法不同，本发明的方法可以有明确的数学表示，约束条件函数在求解域上是光滑的，可以对其求偏导，以便后续优化时使用。并且，该方法可以保证收敛性，可以保证计算完成的结构是自支撑的。

满足自支撑的拓扑优化问题可以表示为如下形式：

其中ρ是设计变量(单元密度)组成的向量，u是全局位移向量，K是全局刚度矩阵。目标函数c(u,ρ)是结构的柔顺度，定义如下

c(u,ρ)＝u^TKu

F(ρ)是节点应力向量，V(ρ)和V₀是材料的体积和求解域的总体积，f是设计指定的体积分数，是非支撑单元的集合，ε是一个接近0的很小的值。使用MMA算法求解上述优化问题。

采用本发明卷积的方法可以大大缩减求解时间，使用卷积和遍历扫描结构的效果对比如下：

实验使用的是一台普通的桌面计算机，具体配置是Intel(R)Core(TM)i5-4460CPU和8GB内存，程序运行环境是MATLAB R2015b(64-bit)。

注：加速比是遍历的时间除以卷积的时间

以下为采用本发明方法进行的一项具体求解案例：

图5是一个二维的悬臂梁案例，求解域被离散为150×60的正方形网格。左端被固定在墙上，右端的中点处受到一个竖直向下的拉力。给定的体积分数为0.6。在实验中确定最佳打印方向为水平向右。得到的结果如图6所示，左侧是SIMP方法直接求解得到的，右侧是本发明方法求得的结果。左图中有24个单元无法自支撑，从而会导致58个单元在在打印过程中坍塌。右图是完全自支撑的结构，可以直接打印。另外，因为增加了限制条件，可行解的空间相较之前会变小，但是本发明的方法依然可以保证结构会拥有较好的力学性能。左图的目标函数值为92.7，本发明求解出的自支撑结构的目标函数值为92.8。在保证了结构强度的条件下，设计出了自支撑的结构。