随机分布复合材料弹性本构矩阵预测的统计的一阶摄动展开渐进均匀化方法与流程

本发明涉及一种随机分布复合材料弹性本构矩阵预测的统计一阶摄动展开渐进均匀化方法，适用于具有随机材料物性的复合材料结构宏观弹性本构矩阵的预测。

背景技术：

随着科技的进步，复合材料以其高强度、高刚度、耐高温和防腐蚀等性质而越来越受重视。因而其性能计算变得越来越重要。在复合材料计算中经常会遇到多相复合材料。随机分布的复合材料是复合材料中的一种重要形式,它已广泛的应用于土木工程和工业产品中。按照填充物所服从随机分布的特征可将其分为几何随机分布的复合材料和材料物理属性随机分布的复合材料。几何随机性表现为，在材料内的不同位置，如果填充物的体积分数和所服从的随机分布模型都相同,这种材料被称为一致随机分布的复合材料。反之，称为非一致随机分布的复合材料。功能梯度材料是近年来材料科学中涌现出的研究热点之一，它们是典型的非一致随机分布的复合材料。无论在试验研究还是理论研究方面，科学家们已经做了大量的工作，取得了许多有价值的结果。然而这些研究大多关注的是颗粒体积分数在单方向变化的功能梯度材料，对于随机分布模型随某些参数改变的非一致随机分布复合材料的研究非常少。材料物理属性随机性表现为，在材料研发工艺中，若经过控制系统调节后，其杨氏模量、强度、韧性等常表现为具有正态分布，或对数正态分布特征的随机模型。Yu和Cui已经提出了一种统计的二阶双尺度分析方法,给出计算机模拟以及对随机颗粒分布区域进行快速的有限元剖分，可用于预测具有各种复杂微观构造的一致随机分布复合材料结构的弹性位移场、热传导性能，然而由于材料物理属性随机性致使结构力学性能表现随机性的研究还非常少。

因此本工作将着重于材料物理属性随机分布模型向宏观弹性矩阵随机性的扩展机理推导工作，也包含复合材料微观结构几何随机性对性能影响的研究，由确定性变量的渐进均匀化方法，经过严密推导发展一种统计的双尺度分析方法，推导出了这种材料有效弹性常数的统计双尺度表达式，及位移场和应力场的二阶的双尺度渐近展开公式。

技术实现要素：

为实现上述目的，本发明采取了如下技术方案：

一种随机分布复合材料弹性本构矩阵预测的统计一阶摄动展开渐进均匀化方法，包括以下步骤：

第一步、根据实际材料结构域，确定随机变量来源及取值范围，建立随机变量的概率模型；

第二步、基于一阶摄动假设，在材料弹性本构柔度矩阵中引入第一步中所述的随机变量，并求逆得到刚度矩阵，将一阶项与零阶项分离；

第三步、在第二步的基础上，在宏观材料结构系统中截取微观代表单元子域，基于渐进展开法假设微观代表体积单元上泛函与宏观泛函存在尺度效应关系，推导全局虚功原理方程，建立宏观弹性矩阵与代表体积单元材料域有限元方程之间的等式关系；

第四步、在第三步的基础上，求解宏观弹性矩阵的概率统计特征与代表体积单元材料域有限元方程之间的等式关系；

第五步、从第四步中得到的宏观弹性矩阵，推导弹性工程常数的概率统计特征。

作为优选，在所述第一步中，确定随机变量主要来源包括两个方面：几何模型与材料的物理属性，其含：n(n≥3)相组分材料杨氏模量、剪切模量、泊松比的随机正态分布描述。

作为优选，在所述第二步中，假设材料各向同性本构柔度矩阵中，根据定义将矩阵内各项与所述第一步中的随机变量α1LαsLαn混合，忽略高于一阶的无穷小项，求逆得到刚度矩阵。

作为优选，在所述第三步中，推导全局虚功原理方程，建立宏观弹性矩阵与代表体积单元材料域Y有限元方程之间的等式关系如下：

式中[D]^H为材料宏观等效弹性矩阵，[I]为单位矩阵，[B]为位移应变关系矩阵，[χ]为特征位移矩阵，|Y|为材料域的体积。

作为优选，在所述第四步中，根据宏观弹性矩阵一阶摄动展开与平均值、方差定义式，求解宏观弹性矩阵[D]^H的概率统计特征平均值Exp[D]^H、方差Var[D^H]与零阶项[D^H]⁰、一阶项[D^H]¹的关系式为：

Exp[D^H]＝[D^H]⁰

式中Var(αi)是随机变量α的方差，Cov(αi,αj)是随机变量α的协方差。

利用所述第三步中在代表体积单元材料域|Y|有限元方程的等式关系[K]为刚度矩阵，为载荷向量；求解特征位移[χ]零阶项[χ]⁰及一阶项[χ]¹进而求解得到上述宏观弹性矩阵的概率统计特征平均值Exp[D^H]、方差Var[D^H]的零阶项[D^H]⁰与一阶项[D^H]¹：

M

M

作为优选，从宏观弹性矩阵中各项与弹性工程常数杨氏模量E、剪切模量G与泊松比υ的关系，需利用近似公式(x代表什么含义)忽略二阶无穷小量。

附图说明

图1是本发明算法设计流程图。

图2是数值算例-涂层粒子复合材料的几何模型图。

图3是计算位移场云图。

图4是验证关系式云图。

具体实施方式

本发明提供一种随机分布复合材料弹性本构矩阵预测的统计一阶摄动展开渐进均匀化方法，包括以下步骤：

第一步中，确定随机变量主要来源包括两个方面：几何模型与材料的物理属性，本发明囊括了n(n≥3)相组分材料杨氏模量、剪切模量、泊松比的随机正态分布描述。

图2所示为本发明方法的一个具体应用举例，在涂层、粒子、基体组成的三相复合材料中，基体材料为高分子聚合物，由于制造过程不精确性，其杨氏模量假设为正态分布N(16GPa,0.01²)，粒子材料为气体类物质N(400GPa,0.01²)，涂层材料为一种陶瓷涂层N(80GPa,0.03²)。

第二步中，假设材料各向同性本构柔度矩阵[C(α)]如下：

求逆得到刚度矩阵[D]如下：

根据定义将矩阵内各项与所述第一步中的随机变量α1，α2，α3混合，忽略高于一阶的无穷小项，求逆得到刚度矩阵。

第三步中，推导全局虚功原理方程，建立宏观弹性矩阵与代表体积单元材料域Y有限元方程之间的等式关系如下：

式中[D]^H为材料宏观等效弹性矩阵，[I]为单位矩阵，[B]为位移应变关系矩阵，[χ]为特征位移矩阵，|Y|为材料域的体积。

第四步中，根据宏观弹性矩阵一阶摄动展开与平均值、方差定义式，求解宏观弹性矩阵[D]^H的概率统计特征平均值Exp[D]^H、方差Var[D^H]与零阶项[D^H]⁰、一阶项[D^H]¹的关系式为：

Exp[D^H]＝[D^H]⁰

式中Var(αi)是随机变量α的方差，Cov(αi,αj)是随机变量α的协方差。

利用所述第三步中在代表体积单元材料域|Y|有限元方程的等式关系[K]为刚度矩阵，为载荷向量。求解特征位移[χ]零阶项[χ]⁰及一阶项[χ]¹进而求解得到上述宏观弹性矩阵的概率统计特征平均值Exp[D^H]、方差Var[D^H]的零阶项[D^H]⁰与一阶项[D^H]¹：

M

M

第五步中，从宏观弹性矩阵中各项与弹性工程常数杨氏模量E、剪切模量G与泊松比υ的关系，需利用近似公式忽略二阶无穷小量。

第六步中，采用Fortran编程，程序计算结果如下所示：

下面验证程序的正确性如下：

统计的宏观弹性刚度矩阵平均值及方差问题以确定性宏观弹性矩阵与零阶项相等，且将n相材料退化成单相材料时其特征位移之和为零作为判断优化过程是否结束的标志。其判断准则为多相材料的复杂计算减少一次迭代的过程，即特征位移由χn¹由χ1¹…χi¹…χn-1¹之和的相反数求出，退出循环，计算过程终止。

本发明相比现有技术的优点在于：

(1)本发明提供一种随机分布复合材料弹性本构矩阵的统计一阶摄动展开渐进均匀化方法，该方法提供了可靠的材料结构等效弹性矩阵预测方法，避免了重复繁琐的试算过程，与其他统计方法相比其在n(n≥3)相材料物理属性随机性扩展到宏观力学性能计算分析上具有计算量小的优势；

(2)本发明提供一种随机分布复合材料弹性本构矩阵的统计一阶摄动展开渐进均匀化方法，该方法大大简化了结构可靠性分析过程，并将其与随机性几何建模方法相结合，实现了一类既考虑材料物理属性随机性又考虑几何结构随机性的准确、快速的分析预测方法，为实际工程中复合材料考虑随机性的优化设计奠定了基础，提高了工作效率，节省了设计成本。

本发明未详细阐述的部分属于本领域公知技术。

以上所述，仅为本发明中的部分具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，凡是依据本发明中的设计精神所做出的等效变化或修饰或等比例放大或缩小等，都应涵盖在本发明的保护范围之内。