一种弯曲状态下的软体双向弯曲气动执行器的数学建模方法与流程

本发明涉及软体双向弯曲气动执行器，更具体的，涉及一种弯曲状态下的软体双向弯曲气动执行器的数学建模方法。

背景技术：

软体双向弯曲气动执行器是由超弹性材料制成，例如硅橡胶。软体对称腔气动执行器是由两个硅胶模块组成的，其中具有多个对称分布并由肋板分隔开的空腔，两个硅胶模块由位于中性层的ABS板粘结。所有的空腔都由一个流道连接起来，从而获得相同的压力。改变通入气体的压力引起空腔的体积变化，软体双向弯曲气动执行器可以实现自身的伸展或弯曲。但软体气动执行器具有变形大和自由度多的特点，所以很难对其进行建模。目前国内外学者用于对软体双向弯曲气动执行器的数学模型具有很大的局限性，精准度不够，会影响后期对执行器的控制效果。

因此，为了进一步加强对软体双向弯曲气动执行器的控制精度，数学模型的建立就显得尤为重要。

技术实现要素：

针对现有技术中存在的问题，本发明提供一种弯曲状态下的软体双向弯曲气动执行器的数学建模方法，从而精确地确定气压和软体双向弯曲气动执行器弯曲角度之间的关系，提高后期对软体双向弯曲气动执行器的控制精度和控制效果。

本发明是通过以下技术方案来实现：

一种弯曲状态下的软体双向弯曲气动执行器的数学建模方法，包括：

S1，将在驱动压力作用下产生弯曲的软体双向弯曲气动执行器分为两部分，一部分为膨胀侧，另一部分为未膨胀侧；

S2，对膨胀侧进行力学分析，计算其拉伸变形和弯曲变形，得到膨胀侧的弯矩；

S3，对未膨胀侧进行力学分析，计算其压缩变形和剪切变形，得到未膨胀侧的弯矩；

S4，通过弯矩守恒，建立驱动压力与软体双向弯曲气动执行器弯曲角度间的关系。

优选的，S2中对膨胀侧进行力学分析具体包括：

S2.1，对膨胀侧肋在径向方向的拉伸变形进行力学分析；

S2.2，对膨胀侧上壁和膨胀侧侧壁的弯曲变形进行力学分析。

进一步的，S2.1具体为：

膨胀侧肋的径向应力为式(1)：

其中，为膨胀侧腔体膨胀后的高度，B为腔体的宽度，N为膨胀侧腔体的个数，b为肋的厚度，L为上壁的原始长度，t是侧壁的厚度，p为驱动压力；

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得到膨胀侧肋的径向应力和径向应变之间的关系式为式(2)：

其中，为膨胀侧肋膨胀后的高度，h为肋的原始高度；

联立以上式(1)和式(2)，得的值。

再进一步的，S2.2具体为：

软体双向弯曲气动执行器在驱动压力p的作用下弯曲，弯曲角度为θ，根据几何变形，膨胀侧上壁的变形ΔL1为式(4)：

膨胀侧上壁的弯曲应变εuc为式(5)：

其中，a为腔体的原始高度；

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得到膨胀侧上壁的弯曲应力σuc，如式(6)：

σuc～εuc (6)

通过常曲率假设，推导得到膨胀侧侧壁的弯曲应变εsc为式(7)：

其中，y为拉伸计算单元层到中性层的距离；

通过执行器所用材料的应力应变曲线，可以得到膨胀侧侧壁的弯曲应力σsc与弯曲应变的关系为(8)：

σsc～εsc (8)

膨胀侧上壁的拉伸应力产生的弯矩Muc和膨胀侧侧壁的弯曲应力产生的弯矩Msc，分别为式(24)和式(25)：

再进一步的，S3对未膨胀侧进行力学分析具体包括：将未膨胀侧的变形分为假设的两步，第一步为纯弯曲变形，未膨胀侧侧壁和未膨胀侧上壁产生压缩压力；第二步为未膨胀侧侧壁和未膨胀侧上壁沿着圆周方向的自由延展变形，此时第一步产生的压缩能将转化为未膨胀侧侧壁的剪切能。

再进一步的，第一步中，未膨胀侧上壁的压缩应变εs为式(10)：

其中，h为肋的原始高度，s为未膨胀侧上壁自由伸长距离，L为上壁的原始长度，R为中性层的弯曲半径，软体双向弯曲气动执行器在驱动压力p的作用下弯曲时弯曲角度为θ，则中性层的弯曲半径R为式(3)：

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得未膨胀侧上壁的压缩应力σs为式(11)：

σs～εs (11)

压缩时，取距离未膨胀侧上壁为y的拉伸计算单元层为参考层，其长度变化ΔLy为式(13)：

当未膨胀侧上壁自由伸长距离为s时，该层的长度变化m如式(14)所示：

未膨胀侧侧壁的压缩应变εm为式(15)：

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得到未膨胀侧侧壁的压缩应力σm与压缩应变的关系式为式(16)：

σm～εm (16)。

再进一步的，第二步中，拉伸时，当s从0增长到l时，

未膨胀侧上壁释放的压缩能Euc表示为式(12)：

其中，t是侧壁的厚度，B为腔体的宽度；

未膨胀侧侧壁释放的应变能Esc为式(17)：

未膨胀侧侧壁产生剪切应变γx如式(18)：

其中，x为剪切计算单元层到固定端面的距离；

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得到未膨胀侧侧壁的剪切应力与剪切应变的关系式如式(19)：

τx～γx (19)

未膨胀侧侧壁的剪切能Ess为式(20)：

根据能量守恒，有式(21)：

Euc+2ESc＝2ESS (21)

根据式(12)、(17)、(20)和(21)，推出l的值；

未膨胀侧上壁压缩应力产生的弯矩Ms和未膨胀侧侧壁压缩应力产生的弯矩Mm，分别为式(26)和式(27)：

。

再进一步的，S4具体包括：

当软体双向弯曲气动执行器在驱动压力p的作用下弯曲，且弯曲角度为θ，此时软体双向弯曲气动执行器的中性层产生的的阻弯矩Mn为式(22)：

其中，L为上壁的原始长度，E为软体材料的弹性模量，Iz为中性层长方形截面力臂，如式(23)：

其中，B为腔体的宽度，t为侧壁的厚度，tn为中性层的厚度；

驱动压力p对中性层产生的弯矩Mp为式(28)：

根据弯矩守恒，得到式(29)：

Msc+Muc+Ms+Mm+Mn＝Mp (29)

根据式(29)得到驱动压力p与弯曲角度θ之间的数学关系。

与现有技术相比，本发明具有以下有益的技术效果：

本发明提供了新的适用于软体双向弯曲气动执行器的弯曲状态下的数学模型建立方法，该方法在明确软体双向弯曲气动执行器位置结构信息的基础上，利用几何知识以及力学分析，构建了在弯曲状态下仿生机器鱼软体双向弯曲气动执行器的数学模型，精确得出了驱动压力与双向弯曲气动执行器的弯曲角度之间的关系式，填补了该领域研究的空白。本发明的算法由数学方程推导，相比于经验公式的算法，本发明的方法更加严密。此外，本发明给出了该方法的具体求解方法，易于在有限元方法中实现。本发明有利于促进对软体双向弯曲气动执行器的控制方法研究的开展，从而对其精确控制提供了一定的理论依据，对于实际工程的研究和设计过程中，更加有效精准地控制软体双向弯曲气动执行器的运动，具有重要意义。

附图说明

图1是软体双向弯曲气动执行器的总体结构图；

图2是软体双向弯曲气动执行器弯曲时的示意图；

图3是软体双向弯曲气动执行器膨胀侧的应力应变；

图4是软体双向弯曲气动执行器未膨胀侧的应力应变；

图5是软体双向弯曲气动执行器末端的应力分布情况。

具体实施方式

下面结合具体的实施例对本发明做进一步的详细说明，所述是对本发明的解释而不是限定。

结合图1、图2、图3、图4和图5，阐述本实例中提供的弯曲状态下的软体双向弯曲气动执行器的数学建模方法。

如图1所示，软体双向弯曲气动执行器包括：上壁、侧壁、中性层、肋、腔体和槽。

如图2所示，该方法将如图1所示的软体双向弯曲气动执行器分为两部分，一部分为膨胀侧，即充气侧，另一部分为未膨胀侧，即未充气侧。如图3所示，首先对膨胀侧进行力学分析，计算其拉伸变形与弯曲变形，得到膨胀侧的弯矩；然后如图4所示对未膨胀侧进行力学分析，计算其压缩变形与剪切变形，得到未膨胀侧的弯矩，最终如图5所示，通过整体的弯矩守恒，建立输入压力与软体双向弯曲气动执行器弯曲角度间的关系。

具体的，该方法包括如下步骤：

步骤1，弯曲时膨胀侧的应力应变

包括膨胀侧肋径向方向的拉伸变形和膨胀侧上壁和膨胀侧侧壁绕垂直轴的纯弯曲变形。

首先，膨胀侧肋的径向应力为式(1)：

其中：为膨胀侧腔体膨胀后的高度，B为腔体的宽度，N为膨胀侧腔体的个数，b为肋的厚度，L为上壁的原始长度，t是侧壁的厚度，p为驱动压力。

然后根据执行器所用材料的应力应变曲线，可以得到膨胀侧肋的径向应力和径向应变之间的关系式为式(2)：

其中：为膨胀侧肋膨胀后的高度，h为肋的原始高度；

联立以上式(1)和式(2)，可得的值。

软体双向弯曲气动执行器在驱动压力p的作用下绕Z轴弯曲，弯曲角度为θ时，中性层的弯曲半径R为式(3)：

根据几何变形，膨胀侧上壁的变形ΔL1为式(4)：

其中：为膨胀侧上壁膨胀后的长度。

膨胀侧上壁的弯曲应变εuc为式(5)：

其中，a为腔体的原始高度。

膨胀侧上壁的弯曲应力σuc同样可以通过执行器所用材料的应力应变曲线读出，如式(6)：

σuc～εuc (6)

通过常曲率假设，可以推出膨胀侧侧壁的弯曲应变εsc为式(7)：

其中，y为拉伸计算单元层到中性层的距离。

通过执行器所用材料的应力应变曲线，可以得到膨胀侧侧壁的弯曲应力σsc与弯曲应变的关系为(8)：

σsc～εsc (8)。

步骤2，弯曲时未膨胀侧的应力应变

弯曲时未膨胀侧的变形可分为假设的两步，第一步为纯弯曲变形，未膨胀侧侧壁和未膨胀侧上壁产生压缩应力，此步骤建立在一个假设的纯弯曲变形约束上，第二步为未膨胀侧侧壁和未膨胀侧上壁沿着圆周方向的自由延展变形，此步骤取消掉第一步所假设的纯弯曲变形约束后，未膨胀侧处于失衡状态，第一步所产生的压缩能释放并转化为未膨胀侧侧壁的剪切能。

第一步，当未膨胀侧上壁被压缩时，其长度变化ΔL2为式(9)：

未膨胀侧上壁的压缩应变εs为式(10)：

其中，s为未膨胀侧上壁自由伸长距离；

根据执行器所用材料的应力应变曲线，得未膨胀侧上壁的压缩应力σs为式(11)：

σs～εs (11)

压缩时，距离未膨胀侧上壁为y的拉伸计算单元层其长度变化ΔLy为式(13)：

当未膨胀侧上壁自由伸长距离为s时，该层的长度变化m如式(14)所示：

未膨胀侧侧壁的压缩应变εm为式(15)：

根据执行器所用材料的应力应变曲线，可以得到未膨胀侧侧壁的压缩应力σm与压缩应变的关系式为式(16)：

σm～εm (16)

第二步，拉伸时，

当s从0增长到l时，未膨胀侧上壁释放的压缩能Euc可被表示为式(12)：

未膨胀侧侧壁释放的应变能Esc为式(17)：

当弯曲的时候，未膨胀侧侧壁压缩，但拉伸时中性层依然保持静止，因此未膨胀侧侧壁会产生剪切应变γx如式(18)：

其中，x为剪切计算单元层到固定端面的距离。固定端面即执行器弯曲时的固定端端面。

根据执行器所用材料的应力应变曲线，可以得到未膨胀侧侧壁的剪切应力与剪切应变的关系式如式(19)：

τx～γx (19)

所以当未膨胀侧上壁延长l时，未膨胀侧侧壁的剪切能Ess为式(20)：

根据能量守恒，如式(21)：

Euc+2ESc＝2ESS (21)

根据式(12)、(17)、(20)和(21)，可以推出l的值。

步骤3，弯曲时的弯矩守恒

当软体双向弯曲气动执行器在驱动压力p的作用下弯曲，且弯曲角度为θ，此时软体双向弯曲气动执行器的中性层中产生阻弯矩Mn，该阻弯矩是由于自身材料刚度所产生的抵抗弯矩，Mn为式(22)：

其中：L为上壁的原始长度，E为软体材料的弹性模量，Iz为中性层长方形截面力臂，如式(23)：

其中：tn为中性层的厚度。

软体双向弯曲气动执行器的膨胀侧和未膨胀侧应力均可以产生各自的弯矩，可以推得式(24)-式(27)：

在上面的式子中，Muc为膨胀侧上壁的拉伸应力产生的弯矩，Msc为膨胀侧侧壁的弯曲应力产生的弯矩，Ms为未膨胀侧上壁压缩应力产生的弯矩，Mm为未膨胀侧侧壁压缩应力产生的弯矩，Muc和Msc仅含有施加的驱动压力p和弯曲角度θ两个变量，固定的驱动压力p下的s就是l，因此Ms和Mm仅含有θ一个变量。

施加的驱动压力p对中性层产生的弯矩Mp为式(28)：

其中Mp只有p一个变量，因为也仅与p有关。

最后根据弯矩守恒，可以得到式(29)：

Msc+Muc+Ms+Mm+Mn＝Mp (29)

式(29)仅包括变量p与θ，因此就得到了驱动压力p与软体双向弯曲气动执行器弯曲角度θ之间的数学关系，即软体双向弯曲气动执行器在弯曲状态下的数学模型得以建立。