圆柱齿轮啮合刚度计算方法与流程

本发明涉及机械设计技术领域，特别是涉及圆柱齿轮啮合刚度计算方法。

背景技术：

齿轮副时变啮合刚度和制造/装配误差是影响齿轮系统动态性能的两类主要内部激励因素。国内外学者对齿轮啮合刚度的计算方法进行了大量研究，而早期的研究大多针对理想的直齿轮副，且通常将齿轮受载近似为二维的平面问题处理。对于斜齿轮副或人字齿轮副，由于接触线方向与齿轮轴线不平行，即使齿轮副的总重合度为整数，每一个啮合位置的接触线总长度也将有所不同，动态的啮合过程也必将产生动态的啮合激励，其啮合分析为复杂的三维空间接触问题。对于理想的齿轮副，啮合刚度的计算即为轮齿啮合弹性变形的计算。然而，工程实际中，制造/装配误差的存在是不可避免的，齿面上的分布式误差会使齿轮副的实际接触状态与理想接触状态产生差异，在不同负载工况下，齿面的实际接触区域也将有所不同，从而使齿轮副动态啮合激励发生变化。对于重合度较高的船用斜齿轮或人字齿轮副，同时啮合的齿轮对也较多，制造/装配误差对轮齿啮合的影响就更加复杂。

现有方法在计算啮合刚度时，求解齿面法向柔度时用的是有限元子结构法，这种方法在研究齿面误差或修形的影响时具有极大的优势，只需要构建一次有限元模型。然而，若将其应用于船舶齿轮系统设计初始阶段的参数设计与匹配，仍需要反复构建有限元模型，此时设计效率就显得低下。因此，本发明基于能量法和切片法提出了更加简便的齿面法向柔度计算方法，大大提高了啮合刚度的计算效率。

技术实现要素：

本发明实施例提供了圆柱齿轮啮合刚度计算方法，可以解决现有技术中存在的问题。

本发明提供了圆柱齿轮啮合刚度计算方法，该方法包括以下步骤：

根据啮合原理展成齿轮副啮合作用面，将该作用面划分出连续的接触线，把连续的接触线离散为多个接触点；

将各个接触点的弹性变形分解为宏观变形和接触变形，采用能量法和切片法计算宏观变形，采用接触变形解析公式计算接触变形，根据计算得到的宏观变形和接触变形建立加载后接触点所满足的变形协调关系，同时建立加载后接触条件、以及各接触点承担的载荷之和与齿轮副法向总载荷的关系，联立上述的关系和条件得到齿面承载接触方程；

采用迭代法求解所述齿面承载接触方程，得到齿面载荷分布和静态传递误差；

在各个接触点对之间根据齿面实际误差值设置间隙量，根据该间隙量、齿面载荷分布和静态传递误差计算得到圆柱齿轮的啮合刚度。

本发明的原理为根据啮合原理，将啮合作用面展开并划分接触点的位置，继而建立齿面承载接触方程，基于切片法和能量法计算齿面法向柔度，基于迭代法求解计算齿面承载接触方程，最后得到考虑齿面分布式误差的圆柱齿轮的啮合刚度。与现有技术相比的有益效果是：首先，应用本发明可以计算考虑齿面分布式误差的圆柱齿轮的啮合刚度，使得后续动力学的计算更加精准。其次，本发明提高了圆柱齿轮啮合刚度计算的效率和精度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为啮合作用面的展成及接触点布置示意图；

图2为含误差齿轮副加载前后变形协调关系示意图；

图3为齿轮接触变形计算所需几何参数示意图；

图4为齿轮切片及受力分析简图；

图5加载前后接触点变形协调关系示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明提供了圆柱齿轮啮合刚度计算方法，该方法步骤如下：

步骤1，根据啮合原理，展成齿轮副啮合作用面，并划分啮合位置和接触线，将连续的接触线离散为一系列接触点，从而将齿面接触的线接触问题转化为点接触问题。

该步骤中轮齿啮合面的展成和接触点的布置基于啮合原理，具体过程如下：

斜齿轮副的动态啮合过程如图1所示。矩形区域b1b2b3b4为齿轮副啮合作用面。n1n2和b1b2分别为理论端面啮合线和实际端面啮合线。rbp和rbg分别为主动轮和从动轮的基圆半径。oa-xayaza为啮合作用面上的计算坐标系。op-xpypzp为主动轮的几何坐标系，og-xgygzg为从动轮的几何坐标系，其中，p表示主动轮，g表示从动轮。

图1为重合度为2～3的一对斜齿轮副的某一瞬时啮合位置。将每条接触线均匀离散为一系列接触点，从而将齿轮副的线接触问题转化为点接触问题。对于接触线上的某一接触点d，其在端面啮合线上的投影点d′的坐标可由下式得到：

式中，rbp/g表示rbp或rbg，

式中，αm为齿轮副啮合角，αag为从动轮的齿顶圆压力角。

步骤2，在各个接触点对之间根据齿面实际误差值设置间隙量，根据变形协调关系建立齿面承载接触方程。

该步骤中在各个接触点对之间根据齿面实际误差值设置间隙量，根据变形协调关系建立齿面承载接触方程的过程如下：

齿轮副的动态啮合过程可视为两弹性体的准静态承载接触过程。在外载荷fw的作用下，两弹性体相互靠近并逐渐进入接触状态。对于考虑齿面复杂分布式误差的齿轮副，在某一啮合位置，主动轮和从动轮啮合齿面在承载前后的变形协调关系如图2所示。

当连续的接触线被离散为一系列接触点以后，加载后可能接触点i所满足的变形协调关系为：

δi^(p)+δi^(g)+εi-lste-di＝0(4)

式中，δi^(p)和δi^(g)分别表示主动轮和从动轮上可能接触点i的受载变形；εi表示可能接触点i的初始间隙；lste表示两弹性体的刚体趋近量，对于齿轮副来说，lste即表示齿轮副的静态传递误差；di表示受载后可能接触点i的剩余间隙。

齿轮的弹性变形可分为两部分：随载荷呈线性变化的宏观变形和随载荷呈非线性变化的局部接触变形。则方程(4)可改写为：

式中，和分别表示主动轮和从动轮在可能接触点i处的宏观变形，δcontact_i表示主动轮和从动轮在可能接触点i处的局部接触变形。

由于主动轮和从动轮的宏观变形随载荷呈线性变化，因此其计算式可写为：

式中，和分别表示主动轮和从动轮考察齿面上接触点j对于接触点i的宏观变形柔度系数，定义为在接触点j施加单位法向载荷时接触点i处的宏观变形量；fj为接触点j的载荷；n为在同一啮合位置考察齿面上可能接触点的数目。

则齿轮副宏观变形柔度可表示为：

齿轮接触变形计算所需几何参数如图3所示。考虑局部接触变形与载荷的非线性耦合关系，可能接触点i处的局部接触变形可采用式(8)计算：

式中，fi为可能接触点i处的载荷；dz为接触宽度；kp和kg分别为主动轮和从动轮上接触点a与法向力方向和齿轮中线的交点b的距离；e和v分别为材料的弹性模量和泊松比；a为齿廓方向的接触半带宽，其计算式为：

式中，ρp和ρg分别为主动轮和从动轮在接触点处的曲率半径。

将式(6)代入式(5)，则接触点i处的变形协调条件可改写为：

在同一啮合位置，所有接触点通过静态传递误差相耦合，则由式(10)可得到n阶线性方程组：

式(11)的矩阵形式可写为：

[λ]global{f}+{u}local+{ε}-lste-{d}＝0(12)

式中，[λ]global为接触点的宏观变形柔度矩阵；{u}local为接触点的局部接触变形；{ε}为接触点的初始间隙；{d}为接触点的剩余间隙；lste为齿轮副静态传递误差。

加载后，当接触点i的载荷大于零时，说明此时两啮合齿面在该点处于接触状态，则该接触点i的剩余间隙为零；当接触点i的载荷等于零时，说明此时两齿面在该点处于未接触状态，则该接触点的剩余间隙大于零。其表达式为：

在同一啮合位置，各接触线上所有可能接触点承担的载荷之和应与齿轮副法向总载荷fz相等，则有：

式中，{i}为n阶单位矩阵。

综上所述，联立式(12)～(14)，即可得到齿轮副在某一啮合位置的齿面承载接触方程的矩阵形式。

步骤3，将各个接触点的弹性变形分解为线性的宏观变形和非线性的接触变形，采用势能法计算线性的宏观变形。

该步骤中线性的宏观变形是基于能量法和切片法计算的，将宏观变形分为弯曲柔度，剪切柔度，轴向压缩柔度和齿轮轮体的部分等效柔度四部分，分别计算求和得到的。

本发明基于能量法和切片法提出了更加简便的齿面法向柔度计算方法。

将齿轮沿齿宽方向离散为一系列齿轮切片，齿轮切片模型及几何参数如图4所示。在齿轮副法向啮合力作用下，齿轮切片的变形可分为弯曲变形、剪切变形、轴向压缩变形、轮体变形和赫兹接触变形。

齿轮轮齿在载荷作用下的势能可分为弯曲变形势能ub、剪切变形势能us和轴向压缩势能ua，其表达式分别为：

式中，e和g分别为材料的弹性模量和剪切模量，ax和ix分别为距离法向啮合力作用点x处的截面面积和截面惯性矩，fb为齿轮切片所受的端面切向力，fa为齿轮切片所受的端面径向力，m为法向啮合力相对于宽度为dx的积分微元的力矩，其计算式分别为：

fb＝fcosαm(19)

fa＝fsinαm(20)

m＝fbx-fah(21)

式中，hx表示dx对应的端面齿距的一半，将式(19)～(21)带入(15)～(17)，可得到齿轮切片的弯曲柔度、剪切柔度和轴向压缩柔度分别为：

在啮合力f作用下，齿轮轮体部分的弹性变形为：

式中，uf和sf如图4所示，uf表示加载点与齿轮齿根圆在端面的垂直距离，sf表示单个齿在齿轮端面上的齿根圆弧长。系数l^*、m^*、p^*和q^*由多项式近似为：

式中，x^*代表l^*、m^*、p^*和q^*，ai、bi、ci、di、ei和fi的值如表1所示。

由此可得，齿轮轮体部分等效柔度的计算式为：

综上所述，宏观变形可由主动轮和从动轮的弯曲柔度、剪切柔度、轴向压缩柔度和齿轮轮体部分的等效柔度叠加得到，其计算式为：

式中，p表示主动轮，g表示从动轮。

表1系数取值

步骤4，采用接触变形解析公式计算非线性的接触变形。

该步骤中的非线性的接触变形采用接触变形解析公式计算得到。

步骤5，采用迭代法可求解得到考虑齿面复杂分布式误差的齿面载荷分布和静态传递误差。

该步骤采用迭代法可求解得到考虑齿面复杂分布式误差的齿面载荷分布和静态传递误差，具体迭代过程如下：

(1)在某一啮合位置，假设齿轮法向啮合力fn在各接触线上的所有可能接触点上均匀分布，即fj(1)＝p/n,(j＝1,2,...,n)，得到初始载荷分布向量{f}。

(2)由已知的载荷分布向量{f}，可采用式(8)中给出的接触变形计算公式计算得到接触点的接触变形等效柔度矩阵：

λlocalj＝ulocalj/fj(k)(j＝1,2,...,n)(29)

[λlocal](k)＝diag([λlocal1,λlocal2,...,λlocaln])(30)

(3)将接触点宏观变形柔度矩阵[λglobal]和接触点接触变形等效柔度矩阵[λlocal](k)叠加，即可得到接触点总体变形柔度矩阵[λ](k)：

[λ](k)＝[λglobal]+[λlocal](k)(31)

式(12)可改写为式(32)：

[λ](k){f}+{ε}-lste-{d}＝0(32)

(4)由于假设齿轮法向啮合力在各接触线上的所有可能接触点上均匀分布，因此，所有可能接触点的剩余间隙均为零。引入人工变量{f'}和lste'，式(32)可改写为：

[λ](k){f'}+{ε}-lste'＝0(33)

联立式(14)和式(33)，并采用高斯消去法求解该线性方程组，可得到{f'}和lste'。

(5)由加载后接触条件式(13)可知：各接触点载荷均大于或等于零，因此，若存在fj'<0，则说明啮合齿面在该接触点位置处于未接触状态。划去[λ](k)、{ε}和{f'}所对应的行和列，重新求解式(14)和式(33)组成的线性方程组，并再次判断人工变量{f'}中各元素的正负，如此迭代求解，直至人工变量{f'}中不再有小于零的元素，即可跳出循环。

(6)判断齿面载荷分布{f}(k+1)和{f}(k)的相对误差小于收敛容差是否成立。若不成立，则转至第(2)步；若成立，则终止迭代，同时输出齿面载荷分布{f}和静态传递误差lste。

步骤6，根据静态传递误差、各个接触点对之间的间隙量以及承担的法向载荷可确定齿轮副的啮合刚度。

该步骤根据静态传递误差、各个接触点对之间的间隙量以及承担的法向载荷可确定齿轮副的啮合刚度。虑误差的齿轮副综合啮合刚度计算式可写为：

总之，本发明针对考虑齿面分布式误差的圆柱齿轮啮合刚度进行计算，计算效率更高，计算精度更加精准。

尽管已描述了本发明的优选实施例，但本领域内的技术人员一旦得知了基本创造性概念，则可对这些实施例作出另外的变更和修改。所以，所附权利要求意欲解释为包括优选实施例以及落入本发明范围的所有变更和修改。

显然，本领域的技术人员可以对本发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包含这些改动和变型在内。