一种考虑不确定性预算的三相不平衡配电网鲁棒动态重构方法与流程

本发明涉及配电网技术领域，尤其是一种考虑不确定性预算的三相不平衡配电网鲁棒动态重构方法。

背景技术：

随着可再生能源技术的快速发展，以风电和光伏为主的大量分布式电源(distributedgenerators，dg)接入配电系统，可以有效提高配电网的供电可靠性。但其灵活接入特点及其出力间歇性和波动性将大大增加配电网运行的不确定性因素，传统配电网重构技术面临巨大挑战。为此，需要在对配电网三相不平衡运行合理建模的基础上考虑dg和负荷注入功率的不确定性对重构的影响，从而提高配电网运行的安全性与经济性。

不同于输电网，中低压配电网线路不再进行三相整体循环换位，且用户侧负荷不均衡现象普遍存在，因此建立基于三相模型的配电网潮流计算、优化调度、分析决策模型已逐渐成为研究的主流。另外，配电网中线路电阻和电抗数值接近，有功功率和无功功率耦合性较强，传统的基于有功无功解耦的分析决策理论也难以在配电网中直接应用。综上，如何在三相有功无功耦合的模型基础上解决主动配电网的双向潮流、过电压、弃风(光)、支路功率拥塞、线路损耗等问题是配电网的运行管理中面临的挑战。

分布式电源出力的不确定性，反映到配电网重构模型计算中即线路潮流的不确定性。配电网不确定性潮流计算主要有概率潮流、模糊潮流和区间潮流。基于不确定潮流计算的配电网重构模型则主要分为模糊数模型、概率模型以及鲁棒模型。相比于概率模型和模糊数模型，以区间方法来描述配电网注入功率的不确定性，无需获得参数的先验具体分布，只需关注不确定变量的上下界信息，更具工程应用价值。但当前研究仍存在以下不足：由于实际网络中负荷和dg出力具有时变特性，若将现有的配电网鲁棒静态重构策略用于优化调整不同时刻的网络拓扑，不仅必须快速完成每一时刻的优化计算及网络重构以满足实时性要求，而且还需频繁地操作开关，影响配电网运行的安全性和经济性。此外，当前鲁棒重构模型均未考虑配电网三相不平衡运行的现状，将配电网简化为理想的三相平衡系统进行研究。

技术实现要素：

本发明所要解决的技术问题在于，提供一种考虑不确定性预算的三相不平衡配电网鲁棒动态重构方法，能够解决当前各相功率不平衡、线路参数不对称以及考虑注入功率不确定性问题。

为解决上述技术问题，本发明提供一种考虑不确定性预算的三相不平衡配电网鲁棒动态重构方法，包括如下步骤：

(1)在对每个时段内风力发电机组、光伏发电机组和负荷注入功率进行预测的基础上，并采用不确定性预算思想对注入功率的不确定集进行区间建模；

(2)基于distflow支路潮流模型对三相线路参数不对称、三相功率不平衡的含分布式电源的配电网进行建模，建立考虑注入功率不确定性的配电网动态重构数学模型；

(3)使用最佳等距分段线性逼近的方法将步骤(1)得到的动态重构数学模型进行精度可控的高效线性化，并根据多面体形式的不确定集建立两阶段鲁棒动态重构模型；

(4)将步骤(3)得到的两阶段鲁棒优化模型分解为主问题与子问题，使用kkt条件和bigm方法将子问题转化为单一目标的优化问题，并进行迭代求解得到鲁棒动态重构方案。

优选的，步骤(1)具体为：

(a)建立风电机组注入功率不确定集模型；风电机组一天内出力的间歇性主要由当地风速变化造成，以weibull分布为例模拟风速的概率密度函数表述如下：

式中：v表示风速；k和c分别表示风电机组的形状参数和尺度参数；易知风电机组的有功功率预测值与风速之间的函数关系如下所述：

式中：pr表示风力发电机组的额定输出功率；vi、vr、vo分别表示切入风速、额定风速、切出风速；

考虑风电机组出力的不确定性后，其考虑不确定性预算的有功功率值仿射数形式可表示如下：

式中，为考虑不确定性的风电机组有功功率值；为基于风速模型的有功功率预测值；为风电波动系数，即相对预测值的最大偏差；εw为风电波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^w为风电机组有功功率不确定性预算控制参数，γ^w∈[0,1]；若γ^w＝0，则风电机组有功功率值等于预测值，为确定值，随着γ^w的增加，则不确定集增大；

(b)建立光伏发电注入功率不确定集模型；光伏发电系统有功出力易受当地光照强度影响，忽略逆变设备的损耗，以beta分布为例表示光照强度，其概率密度函数表示如下：

式中，ζ、χ分别为beta分布的形状参数，均大于0；e和em分别表示同一时段内的光照强度和光照强度最大值；

根据光照强度得到光伏发电的有功功率预测值为：

式中，m表示光伏电池板总数；am和ηm分别表示第m个电池板的面积和光电转换效率；

同样考虑光伏发电功率的不确定性，含不确定性预算的有功功率值的仿射数表达形式为：

式中，为考虑不确定性的光伏系统有功功率值；为基于光照模型的有功功率预测值；为光伏波动系数，即相对预测值的最大偏差；εpv为光伏波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^pv为光伏系统有功功率不确定性预算控制参数，γ^pv∈[0,1]；

(c)建立负荷注入功率不确定集模型。对已知的负荷需求曲线进行标幺化处理得到本文配电网负荷预测标幺化曲线，选择标准配电系统给定的负荷值作为基准值，得到相应系统的日负荷曲线，考虑节点负荷需求不确定性后含不确定性预算的仿射数表达形式如下：

式中，为考虑不确定性的负荷有功功率值；为基于负荷有功功率预测值；为负荷波动系数，即相对预测值的最大偏差；εl为负荷波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^l为负荷有功功率不确定性预算控制参数，γ^l∈[0,1]；配电网稳态分析过程中dg大多采用pq控制方式，即根据给定的功率因数和有功功率即可相应计算出风电机组以及光伏发电的无功功率。

优选的，步骤(2)具体为：

(a)对重构时段进行划分；综合考虑一天内的dg和负荷变化情况，将每天24个时刻划分为24个时段，各时段负荷和分布式电源出力的取值为时段起始时刻数值，重构频率可设为例如每6个时段一次，即每天最多重构4次；

(b)考虑注入功率的不确定性，对于辐射状运行的三相不平衡配电网，建立改进的distflow支路潮流方程；

对于时段t线路中的节点j，有

对于时段t支路ij，有

式中，φ∈{a,b,c}为三相不平衡模型；和分别为支路ij首端的三相有功功率和无功功率；集合m(j)为配电网中以节点j为末端节点的支路的首端节点集合；集合n(j)为配电网中以j为首端节点的支路的末端节点集合；为节点电压幅值；和分别为节点j的有功功率和无功功率净注入量，和为仿射数形式的dg功率值；和仿射数形式的负荷功率值；和为dg和负荷的波动程度；和分别为考虑配电网三相线路自阻抗和互阻抗的支路电阻和电抗；

基于以上distflow支路潮流方程，选择网损最优作为目标函数建立考虑dg和负荷不确定性的三相不平衡动态重构数学模型，目标函数如下：

式中，t为时段数；nl为网络支路集合；δdt为第t个时段长度；

各时段具体的约束条件如下：

1)节点有功和无功功率注入平衡约束；

2)支路潮流电压方程约束条件；

3)配电网安全运行节点电压上下限约束条件；

式中，和为时刻t节点i电压下限和上限取值；

4)配电网安全运行支路功率上下限约束条件；

式中，和为时刻t节点支路ij有功功率下限和上限取值；和为时刻t节点支路ij无功功率下限和上限取值；为线路开关状态量；

5)不确定性预算可调的功率区间约束；

式中，和为dg和负荷的波动程度；ndg为dg接入节点数量，nl为负荷接入节点数量；

6)开关操作次数约束；

式中，ns为总开关操作次数上限；

7)网络辐射状运行约束条件；辐射状配电网络与生成树具有十分相似的特性，结合该特性建立如下辐射状网络约束；

式中，为生成树的父子节点关系变量，当节点j是节点i的父节点时反之取0；n(i)为跟节点i具有支路连接关系的节点集合；其中第1式表明当支路ij连接时，必有一个节点是另一个节点的父节点；第2式则表明节点i只存在一个父节点；第3式表明源节点1不是任何节点的父节点。

优选的，步骤(3)具体为：

(a)将三相不平衡动态重构模型线性化；由于重构模型中存在二次项，因此是混合整数非凸非线性优化问题，为了尽可能提高线性近似化的效率并实现精度的可控，对所提重构模型采用最佳等距分段线性逼近法进行线性化处理；约束条件中的功率二次项本质上为线路损耗，因此远小于相应式中的线路功率项，可以忽略；另外，在配电系统中，除松弛节点外，所有节点电压幅值的标幺值均在1附近波动；因此，假设目标函数中的分母电压平方项近似为1；

目标函数中的有功无功平方项可通过最佳等距分段线性逼近法将二阶函数进行线性近似化处理；首先，需要预先给定最大逼近误差δ，利用最小分段距离的查找原理得到分段线性化的最小分段距离，具体如下：

将配电网重构模型目标函数中的支路功率二次项表示为y＝h(x)形式的二次函数，使用最佳等距分段线性逼近法对该功率二次项进行一阶线性化近似表示；首先说明最佳等距分段中对于最小三相支路功率的分段距离查找原理：假设y＝h(x)为需要线性化处理的三相不平衡智能配电网有功和无功非线性支路功率函数曲线，曲线的上方和下方分别存在一条三相误差功率上限曲线和三相误差功率下限曲线，分别可用和y＝h(x)＝h(x)-δ表示，其中，δ为给定的最大三相功率逼近误差常数；x1点为三相误差功率下限曲线h(x)中斜率较大的一点，以该端点(x1,h(x1))作为起点做三相误差功率上限曲线的切线，可得到切点为并与三相误差功率下限曲线相交于点(x2,h(x2))，该切线斜率为接着以交点(x2,h(x2))为起点做三相误差功率上限曲线的切线，可得到切点为并与三相误差功率下限曲线相交于点(x3,h(x3))，并得该切线斜率反复执行上述操作直至的终点，并得到一系列三相不平衡配电网的三相支路功率函数的分段直线；

对上述三相不平衡配电网支路功率曲线切线的斜率进行化简可得：

当x1和δ为已知量时，可以类推分别求得配电网重构模型中所有三相不平衡功率函数分段直线的端点值x2,x3,…,xl；基于上述三相功率端点值，可获得相邻功率端点的最小功率间距值c，以该间距值作为等距三相支路功率的分段标准，对三相不平衡配电网支路功率函数y＝h(x)进行等距分段可得到新的三相不平衡支路功率分段直线端点，分别为以此可获得等距分段线性逼近三相不平衡支路功率函数以表示原模型中的三相不平衡配电网功率二次函数；

经过上述对三相不平衡配电网模型中非线性功率项的最佳等距分段线性逼近，可获得配电网三相支路功率的分段线性化近似表示式：

式中，ωu，ωs分别为分段后的三相功率断面数集合；分别为三相不平衡支路功率函数各个断面上三相线性功率函数的斜率；分别为各断面上三相线性功率函数的取值；

通过上述对三相不平衡配电网支路非线性功率项进行线性化近似，三相不平衡配电网重构模型的三相支路功率变量可转化为由三相分段线性功率变量构成的线性表达式：

通过线性化变换，三相不平衡配电网重构模型目标函数可转化为三相支路功率的线性函数，从而使得重构问题转化为混合整数线性规划问题；由于三相线性支路功率变量被限制为非负，而实际中当系统潮流与假定潮流正方向相反时，潮流值为负值，与设定不符，因此引入以下四个附加的三相不平衡潮流功率变量并增加相应约束条件如下：

建立附加的三相不平衡潮流功率变量与原三相支路功率变量的关系约束如下：

附加三相潮流变量自身约束如下：

各断面上三相不平衡线性功率函数的三相线性支路变量的上下限约束：

至此，三相不平衡配电网动态重构模型完全转化为混合整数线性规划模型，约束条件也均为线性条件，决策变量为配电网各开关状态；

目标函数如下：

(b)将考虑不确定性的三相不平衡配电网动态重构模型表示为两阶段鲁棒优化模型；由于约束条件中建立的不确定集是一个多面体有界集合，不确定变量在该有界集合内任意变化时，需要始终保证优化重构方案的可行性；选择鲁棒优化方法处理上述考虑不确定性的配电网动态重构模型，将上述重构模型写成两阶段鲁棒模型的形式，如下所示；

式中，δ为满足辐射状约束的拓扑解集；θ为不确定集；π为满足潮流和节点注入等运行约束的状态变量解集。

优选的，步骤(4)具体为：

(a)采用计算效率和求解性能都较优的列约束生产算法(c&cg)将考虑不确定性的三相不平衡配电网鲁棒动态重构模型分解；根据建立的两阶段鲁棒优化模型可知，外层决策变量是线路开关状态，为离散变量；内层决策变量为dg和负荷的波动程度，为连续变量；从数学形式上分析可知，鲁棒重构模型为大规模组合优化问题，一般可采用分解算法求解；当网络拓扑一定时，该问题可以转化为求解含dg和负荷不确定性的最优潮流问题，原不确定性鲁棒问题可转化为两个部分，第一部分为基于当前拓扑结构计算不确定情况波动最恶劣情况下的最优网损，第二部分为获得上述所有拓扑结构下的最小网损拓扑结构；将步骤(3)得到的鲁棒重构问题分解为主问题(mp)和子问题(sp)；

mp:minη

式中，和是由子问题求解获得的最恶劣波动情况下的dg和负荷功率情况；

主问题是在满足电压潮流方程、支路电压容量极值、开关次数以及辐射状运行等约束条件下决策出网络中所有开关的状态以最小化网络运行损耗，通过枚举出各个节点注入功率不确定性集合中有限个可能的波动场景，使得主问题的约束条件中不确定集合用部分枚举场景替代，由此可知主问题即为单一优化目标形式的混合整数线性规划问题；

s.t.潮流方程、电压方程、运行上下限和功率区间约束

上式中，存在的开关变量在该问题求解时为已知变量，由主问题确定；

子问题用于生成新的枚举场景，并以约束条件的形式添加到主问题中；对于任何给定的网络开关状态，子问题都能求解出相应的最优解，生成针对某个网络开关状态的最恶劣波动场景，因此子问题为获取目标函数最大值的混合整数线性规划问题；

子问题目标函数包含max-min双层目标，较难直接求解；由于子问题为线性问题，满足强对偶条件，因此选择增加kkt条件将内层min问题转化为max问题，从而获得单一max问题，增加相应的对偶约束和互补松弛约束并使用big-m方法进行线性处理；转化后的子问题目标函数如下所示：

(b)根据分解原两阶段鲁棒重构模型得到的主问题和子问题，设计迭代方法求解鲁棒动态重构方案；具体步骤如下：

1)设置目标函数值的上界ub＝+∞，下界lb＝-∞，dg和负荷的功率波动初始值为0，当前迭代次数k＝0，收敛精度为δ；

2)求解主问题，得到的优化结果包括配电网最优开关状态和最优主问题目标函数值η(k)，并更新下界为lb＝max{lb,η(k)}；

3)基于当前主问题求解得到的最优开关状态，求解子问题，得到的优化结果包括配电网中dg和负荷波动程度最优解和最优子问题目标函数值f(k)，并更新上界为ub＝min{ub,η(k)}；

4)判断ub-lb<δ是否成立。若ub-lb<δ，则输出鲁棒动态重构开关方案；若ub-lb≥δ，则令k＝k+1，并根据第k次迭代得到的子问题dg和负荷功率波动程度最优解获得该场景下dg和负荷注入功率情况，添加关于支路功率和节点注入功率的列约束至第k+1次迭代的主问题，并转到2)；具体列约束如下：

经过上述基于c&cg方法的迭代求解，最终可以得到三相不平衡配电网鲁棒动态重构方案。

本发明的有益效果为：(1)本发明可以弥补当前配电网网络重构优化过程忽略三相功率不平衡和线路参数不对称情况的不足，提高了配电网网络重构优化算法的工程应用能力，为配电网经济运行的优化研究提供理论支撑；(2)本发明提出的配电网网络重构方法相比于现有的配网重构方法而言可以更高效地实现对于数学模型的求解，并且经济重构模型的优化方案具有可重复性，能够得到全局最优解或者次全局最优解，模型具有更优的求解性能。并且本发明提出的配电网网络重构方法的计算近似误差可以根据实际工程应用需要自由调节，在保证求解精度的同时，可以大幅节约求解资源，提高了实际工程应用的价值；(3)本发明提出的配电网鲁棒动态重构方法考虑了负荷和分布式电源注入功率的不确定性以及时变性，给出了重构周期内配电网的动态重构方案，并且对极端恶劣的配电网运行工况具有良好的适应性，兼顾了重构方案的鲁棒性与保守性。

附图说明

图1为本发明的方法流程示意图。

图2为本发明的动态重构决策过程示意图。

图3为本发明的最佳等距分段法分段间距查找示意图。

图4为本发明的分段线性逼近法原理示意图。

图5为本发明的基于c&cg算法的鲁棒动态重构模型求解流程示意图。

具体实施方式

如图1所示，一种考虑不确定性预算的三相不平衡配电网鲁棒动态重构方法，包括如下步骤：

步骤1：在对每个时段内风力发电机组、光伏发电机组和负荷注入功率进行预测的基础上，并采用不确定性预算思想对注入功率的不确定集进行区间建模。具体实现过程如下。

(1)建立风电机组注入功率不确定集模型。风电机组一天内出力的间歇性主要由当地风速变化造成，以weibull分布为例模拟风速的概率密度函数表述如下：

式中：v表示风速；k和c分别表示风电机组的形状参数和尺度参数。易知风电机组的有功功率预测值与风速之间的函数关系如下所述：

式中：pr表示风力发电机组的额定输出功率；vi、vr、vo分别表示切入风速、额定风速、切出风速。

考虑风电机组出力的不确定性后，其考虑不确定性预算的有功功率值仿射数形式可表示如下：

式中，为考虑不确定性的风电机组有功功率值；为基于风速模型的有功功率预测值；为风电波动系数，即相对预测值的最大偏差；εw为风电波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^w为风电机组有功功率不确定性预算控制参数，γ^w∈[0,1]。若γ^w＝0，则风电机组有功功率值等于预测值，为确定值，随着γ^w的增加，则不确定集增大。

(2)建立光伏发电注入功率不确定集模型。光伏发电系统有功出力易受当地光照强度影响，忽略逆变设备的损耗，以beta分布为例表示光照强度，其概率密度函数表示如下：

式中，ζ、χ分别为beta分布的形状参数，均大于0；e和em分别表示同一时段内的光照强度和光照强度最大值。

根据光照强度得到光伏发电的有功功率预测值为：

式中，m表示光伏电池板总数；am和ηm分别表示第m个电池板的面积和光电转换效率。

同样考虑光伏发电功率的不确定性，含不确定性预算的有功功率值的仿射数表达形式为：

式中，为考虑不确定性的光伏系统有功功率值；为基于光照模型的有功功率预测值；为光伏波动系数，即相对预测值的最大偏差；εpv为光伏波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^pv为光伏系统有功功率不确定性预算控制参数，γ^pv∈[0,1]；

(3)建立负荷注入功率不确定集模型。对已知的负荷需求曲线进行标幺化处理得到本文配电网负荷预测标幺化曲线，选择标准配电系统给定的负荷值作为基准值，得到相应系统的日负荷曲线，考虑节点负荷需求不确定性后含不确定性预算的仿射数表达形式如下：

式中，为考虑不确定性的负荷有功功率值；为基于负荷有功功率预测值；为负荷波动系数，即相对预测值的最大偏差；εl为负荷波动程度，反映有功功率偏离预测值的程度；γ^l为负荷有功功率不确定性预算控制参数，γ^l∈[0,1]。

目前配电网稳态分析过程中dg大多采用pq控制方式，即根据给定的功率因数和有功功率即可相应计算出风电机组以及光伏发电的无功功率。

步骤2：根据步骤1得到的配电网分布式电源和负荷注入功率的不确定性模型，基于distflow支路潮流模型对三相线路参数不对称、三相功率不平衡的含分布式电源的配电网进行建模，建立考虑注入功率不确定性的配电网动态重构数学模型。具体实现过程如下。

(1)对重构时段进行划分。综合考虑一天内的dg和负荷变化情况，将每天24个时刻划分为24个时段，各时段负荷和分布式电源出力的取值为时段起始时刻数值，重构频率可设为例如每6个时段一次，即每天最多重构4次，具体决策过程如图2所示；

(2)考虑注入功率的不确定性，对于辐射状运行的三相不平衡配电网，建立改进的distflow支路潮流方程。

对于时段t线路中的节点j，有

对于时段t支路ij，有

式中，φ∈{a,b,c}为三相不平衡模型；和分别为支路ij首端的三相有功功率和无功功率；集合m(j)为配电网中以节点j为末端节点的支路的首端节点集合；集合n(j)为配电网中以j为首端节点的支路的末端节点集合；为节点电压幅值；和分别为节点j的有功功率和无功功率净注入量，和为仿射数形式的dg功率值；和仿射数形式的负荷功率值；和为dg和负荷的波动程度；和分别为考虑配电网三相线路自阻抗和互阻抗的支路电阻和电抗。

基于以上distflow支路潮流方程，选择网损最优作为目标函数建立考虑dg和负荷不确定性的三相不平衡动态重构数学模型，目标函数如下：

式中，t为时段数；nl为网络支路集合；δdt为第t个时段长度；

各时段具体的约束条件如下：

1)节点有功和无功功率注入平衡约束。

2)支路潮流电压方程约束条件。

3)配电网安全运行节点电压上下限约束条件。

式中，和为时刻t节点i电压下限和上限取值。

4)配电网安全运行支路功率上下限约束条件。

式中，和为时刻t节点支路ij有功功率下限和上限取值；和为时刻t节点支路ij无功功率下限和上限取值；为线路开关状态量。

5)不确定性预算可调的功率区间约束。

式中，和为dg和负荷的波动程度；ndg为dg接入节点数量，nl为负荷接入节点数量；

6)开关操作次数约束。

式中，ns为总开关操作次数上限。

7)网络辐射状运行约束条件。辐射状配电网络与生成树具有十分相似的特性，结合该特性建立如下辐射状网络约束。

式中，为生成树的父子节点关系变量，当节点j是节点i的父节点时反之取0；n(i)为跟节点i具有支路连接关系的节点集合。其中第1式表明当支路ij连接时，必有一个节点是另一个节点的父节点；第2式则表明节点i只存在一个父节点；第3式表明源节点1不是任何节点的父节点。

步骤3：使用最佳等距分段线性逼近的方法将步骤1得到的动态重构数学模型进行精度可控的高效线性化，并根据多面体形式的不确定集建立两阶段鲁棒动态重构模型。具体实现过程如下所述：

(1)将三相不平衡动态重构模型线性化。由于重构模型中存在二次项，因此是混合整数非凸非线性优化问题，为了尽可能提高线性近似化的效率并实现精度的可控，对所提重构模型采用最佳等距分段线性逼近法进行线性化处理。约束条件中的功率二次项本质上为线路损耗，因此远小于相应式中的线路功率项，可以忽略。另外，在配电系统中，除松弛节点外，所有节点电压幅值的标幺值均在1附近波动。因此，假设目标函数中的分母电压平方项近似为1。

目标函数中的有功无功平方项可通过最佳等距分段线性逼近法将二阶函数进行线性近似化处理。首先，需要预先给定最大逼近误差δ，利用最小分段距离的查找原理得到分段线性化的最小分段距离，具体如下：

将配电网重构模型目标函数中的支路功率二次项表示为y＝h(x)形式的二次函数，使用最佳等距分段线性逼近法对该功率二次项进行一阶线性化近似表示；首先说明最佳等距分段中对于最小三相支路功率的分段距离查找原理：如图3所示，假设y＝h(x)为需要线性化处理的三相不平衡智能配电网有功和无功非线性支路功率函数曲线，曲线的上方和下方分别存在一条三相误差功率上限曲线和三相误差功率下限曲线，分别可用和y＝h(x)＝h(x)-δ表示，其中，δ为给定的最大三相功率逼近误差常数；x1点为三相误差功率下限曲线h(x)中斜率较大的一点，以该端点(x1,h(x1))作为起点做三相误差功率上限曲线的切线，可得到切点为并与三相误差功率下限曲线相交于点(x2,h(x2))，该切线斜率为接着以交点(x2,h(x2))为起点做三相误差功率上限曲线的切线，可得到切点为并与三相误差功率下限曲线相交于点(x3,h(x3))，并得该切线斜率反复执行上述操作直至的终点，并得到一系列三相不平衡配电网的三相支路功率函数的分段直线；

对上述三相不平衡配电网支路功率曲线切线的斜率进行化简可得：

当x1和δ为已知量时，可以类推分别求得配电网重构模型中所有三相不平衡功率函数分段直线的端点值x2,x3,…,xl；基于上述三相功率端点值，可获得相邻功率端点的最小功率间距值c，以该间距值作为等距三相支路功率的分段标准，对三相不平衡配电网支路功率函数y＝h(x)进行等距分段可得到新的三相不平衡支路功率分段直线端点，分别为以此可获得等距分段线性逼近三相不平衡支路功率函数以表示原模型中的三相不平衡配电网功率二次函数，如图4所示；

经过上述对三相不平衡配电网模型中非线性功率项的最佳等距分段线性逼近，可获得配电网三相支路功率的分段线性化近似表示式：

式中，ωu，ωs分别为分段后的三相功率断面数集合；分别为三相不平衡支路功率函数各个断面上三相线性功率函数的斜率；分别为各断面上三相线性功率函数的取值；

通过上述对三相不平衡配电网支路非线性功率项进行线性化近似，三相不平衡配电网重构模型的三相支路功率变量可转化为由三相分段线性功率变量构成的线性表达式：

通过线性化变换，三相不平衡配电网重构模型目标函数可转化为三相支路功率的线性函数，从而使得重构问题转化为混合整数线性规划问题；由于三相线性支路功率变量被限制为非负，而实际中当系统潮流与假定潮流正方向相反时，潮流值为负值，与设定不符，因此引入以下四个附加的三相不平衡潮流功率变量并增加相应约束条件如下：

建立附加的三相不平衡潮流功率变量与原三相支路功率变量的关系约束如下：

附加三相潮流变量自身约束如下：

各断面上三相不平衡线性功率函数的三相线性支路变量的上下限约束：

至此，三相不平衡配电网动态重构模型完全转化为混合整数线性规划模型，约束条件也均为线性条件，决策变量为配电网各开关状态。

目标函数如下：

(2)将考虑不确定性的三相不平衡配电网动态重构模型表示为两阶段鲁棒优化模型。由于约束条件中建立的不确定集是一个多面体有界集合，不确定变量在该有界集合内任意变化时，需要始终保证优化重构方案的可行性。选择鲁棒优化方法处理上述考虑不确定性的配电网动态重构模型，将上述重构模型写成两阶段鲁棒模型的形式，如下所示。

式中，δ为满足辐射状约束的拓扑解集；θ为不确定集；π为满足潮流和节点注入等运行约束的状态变量解集；

步骤4：将步骤3得到的两阶段鲁棒优化模型分解为主问题与子问题，使用kkt条件和bigm方法将子问题转化为单一目标的优化问题，并进行迭代求解得到鲁棒动态重构方案，算法流程图如图4所示。具体实现过程如下：

(1)采用计算效率和求解性能都较优的列约束生产算法(c&cg)将考虑不确定性的三相不平衡配电网鲁棒动态重构模型分解。根据建立的两阶段鲁棒优化模型可知，外层决策变量是线路开关状态，为离散变量；内层决策变量为dg和负荷的波动程度，为连续变量。从数学形式上分析可知，鲁棒重构模型为大规模组合优化问题，一般可采用分解算法求解。当网络拓扑一定时，该问题可以转化为求解含dg和负荷不确定性的最优潮流问题，原不确定性鲁棒问题可转化为两个部分，第一部分为基于当前拓扑结构计算不确定情况波动最恶劣情况下的最优网损，第二部分为获得上述所有拓扑结构下的最小网损拓扑结构。将步骤(3)得到的鲁棒重构问题分解为主问题(mp)和子问题(sp)。

mp:minη

式中，和是由子问题求解获得的最恶劣波动情况下的dg和负荷功率情况。

主问题是在满足电压潮流方程、支路电压容量极值、开关次数以及辐射状运行等约束条件下决策出网络中所有开关的状态以最小化网络运行损耗，通过枚举出各个节点注入功率不确定性集合中有限个可能的波动场景，使得主问题的约束条件中不确定集合用部分枚举场景替代，由此可知主问题即为单一优化目标形式的混合整数线性规划问题。

s.t.潮流方程、电压方程、运行上下限和功率区间约束

上式中，存在的开关变量在该问题求解时为已知变量，由主问题确定。

子问题用于生成新的枚举场景，并以约束条件的形式添加到主问题中。对于任何给定的网络开关状态，子问题都能求解出相应的最优解，生成针对某个网络开关状态的最恶劣波动场景，因此子问题为获取目标函数最大值的混合整数线性规划问题。

子问题目标函数包含max-min双层目标，较难直接求解。由于子问题为线性问题，满足强对偶条件，因此选择增加kkt条件将内层min问题转化为max问题，从而获得单一max问题，增加相应的对偶约束和互补松弛约束并使用big-m方法进行线性处理。转化后的子问题目标函数如下所示：

(2)根据分解原两阶段鲁棒重构模型得到的主问题和子问题，设计迭代方法求解鲁棒动态重构方案。迭代求解的流程图如图5所示，具体步骤如下：

1)设置目标函数值的上界ub＝+∞，下界lb＝-∞，dg和负荷的功率波动初始值为0，当前迭代次数k＝0，收敛精度为δ。

2)求解主问题，得到的优化结果包括配电网最优开关状态和最优主问题目标函数值η(k)，并更新下界为lb＝max{lb,η(k)}。

3)基于当前主问题求解得到的最优开关状态，求解子问题，得到的优化结果包括配电网中dg和负荷波动程度最优解和最优子问题目标函数值f(k)，并更新上界为ub＝min{ub,η(k)}。

4)判断ub-lb<δ是否成立。若ub-lb<δ，则输出鲁棒动态重构开关方案；若ub-lb≥δ，则令k＝k+1，并根据第k次迭代得到的子问题dg和负荷功率波动程度最优解获得该场景下dg和负荷注入功率情况，添加关于支路功率和节点注入功率的列约束至第k+1次迭代的主问题，并转到2)。具体列约束如下：

经过上述基于c&cg方法的迭代求解，最终可以得到三相不平衡配电网鲁棒动态重构方案。