基于广义三阶Fibonacci混沌系统伪随机序列发生器设计方法与流程

本发明涉及一种混沌伪随机序列发生器设计方法，具体涉及一种基于三阶广义三阶fibonacci混沌系统(gtfcs，generalizedthird-orderfibonaccichaoticsystem)伪随机序列发生器设计方法。

背景技术：

混沌是一种非周期的动力学过程，具有不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象，它看似杂乱无章，其实混沌中蕴涵着有序，这是其非线性动力系统的固有特性，它在确定性与随机性之间架起了互通的桥梁。伪随机序列广泛应用于密码、调频以及调频通信系统中，并且混沌系统产生的信号很难被破解。混沌的应用是需要产生混沌信号或是混沌序列，而混沌序列的产生需要混沌伪随机序列发生器，并且生成速度快，因而广泛被使用。目前，现有混沌系统产生的伪随机序列存在不够均匀、复杂度低、相关性大等问题。

技术实现要素：

本发明针对现有混沌系统产生的伪随机序列不够均匀、复杂度低、相关性大等问题，提供了一种基于广义三阶fibonacci混沌系统伪随机序列发生器设计方法。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种基于广义三阶fibonacci混沌系统伪随机序列发生器设计方法，包括如下步骤：

步骤1：选取ql混沌系统的初始值及系统控制参数，带入ql混沌系统中进行运行实验，得到xi、yi和zi范围均在(0,1)内的实数三阶序列(xi，yi，zi)；

步骤2：分别选取logistic混沌系统和fibonacci数列的初始值及系统控制参数，将fibonacci数列和logistic混沌系统联合产生fibonacci的f-l序列；

步骤3：将步骤1所产生的实数三阶序列(xi，yi，zi)带入广义三阶参数fibonacci函数模型中分别作为广义三阶fibonacci函数模型的参数ai、bi、ci，同时将步骤二中的f-l序列带入广义三阶参数fibonacci函数模型中作为广义三阶fibonacci函数模型的函数值fi，并不断迭代产生广义三阶fibonacci函数模型序列，其中：广义三阶参数fibonacci函数模型的公式如下：

fj＝(aifi-1+bifi-2+cifi-3)modm；

步骤4：将步骤3中产生的广义三阶fibonacci函数模型序列与logistic混沌系统带入广义三阶fibonacci混沌系统中级联耦合，再对广义三阶fibonacci混沌系统进行迭代，产生最后所需的均匀非相关的序列，其中：广义三阶fibonacci混沌系统的公式如下：

xn+1＝afql＝(f(q(γ,β)))+l(x0,μ)mod1；

式中，q(γ,β)表示ql混沌系统；f(q(γ,β))表示将fibonacci的f-l数列与ql混沌系统在广义三阶参数fibonacci函数模型中级联所求的fj；l(x0,μ)表示初始状态为x0以及系统参数为r(又称分支参数，r∈(0,4])的logistic混沌系统。

相比于现有技术，本发明具有如下优点：

1、本发明设计的混沌伪随机序列发生器能快速并行产生混沌伪随机序列，并且具有结构简单、伪随机性强、分布均匀、相关性小等特征，从而克服了混沌伪随机序列发生器设计中存在的根本性缺陷，具有较高的应用前景。

2、通过对随机序列的密钥空间分析、初值敏感性、相关性分析，证明了本发明的方法具有很好的随机性且安全可靠。

3、本发明采用fibonacci数列“扰动”的方法来得到混沌序列，增加控制参数个数，使得混沌行为复杂度提高，弥补了logistic混沌序列分布不均匀的缺点，也可以提高序列的性能。

附图说明

图1为gtfcs伪随机混沌序列发生器示意图；

图2为伪随机序列值得分布图；

图3为两数列差异图；

图4为序列相关性分析，(a)序列的自相关特性，(b)序列的互相关特性；

图5为三混沌系统直方图，(a)ql直方图，(b)f-l直方图，(c)gtfcs直方图；

图6为近似熵；

图7为三种混沌系统空间结构图，(a)ql(x轴)空间二、三维结构图，(b)f-l空间二、三维结构图，(c)gtfcs序列空间二、三维结构图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案作进一步的说明，但并不局限于此，凡是对本发明技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的范围，均应涵盖在本发明的保护范围中。

本发明提供了一种基于广义三阶fibonacci混沌系统伪随机序列发生器设计方法，所述方法首先利用量子logistic混沌系统产生的混沌序列作为广义三阶fibonacci函数模型的参数，然后利用logistic和fibonacci的联合混沌作为广义三阶fibonacci函数的变量，以此来产生新的数列，再与logistic映射级联耦合得到新的广义三阶fibonacci混沌系统模型，基于此模型设计伪随机序列发生器，最后从密钥空间分析、初值敏感性、相关性分析、互信息、差值特性、分布特性、复杂度、相空间结构等多方面成功分析此方法具有很好的随机性且安全可靠。具体实施步骤如下：

一、构建广义三阶fibonacci混沌系统模型

使用fibonacci数列产生随机数，由于序列本身存在显著的相关性，所以需要对它进行改进，这样才能满足实际的需要，对经典的fibonacci数列进行改进可以得到延迟的fibonacci数列：

xi+1＝(xi+xi-p)modm,i＝p,p+1,…,m∈n(1)

式中：m表示模，xi表示序列的值，只要知道了几个初值和模的值，整个序列也就确定了。利用式(l)构造伪随机序列，令x0＝l23，xl＝1，x2＝1，m＝191，p＝2，初始循环l0000次之后，去掉初值x0，得到混沌序列，再与取初值为r＝3.8、z1＝0.5的logistic进行相乘联合，得到一维logistic和fibonacci伪随机序列。

fibonacci数列具有简单、快速、易于实现等特性，因为fibonacci数列本身具有自相似性，因此采用广义三阶参数fibonacci函数模型：

fj＝(aifi-1+bifi-2+cifi-3)modm(2)；

式中：ai，bi和ci表示随机常数，fi表示一个序列，函数模型需要对初始值进行赋值。

量子logistic映射的表达式为:

式中：ai,bi,ci为选取的ql混沌映射所产生的变量xi、yi、zi序列组合，其初值x0＝0.2，y0＝0.05，z0＝0.19，r＝3.99，β＝6.2；式(2)内的带参fi为fibonacci的f-l混沌伪随机序列，再通过取模运算产生fj序列。

这里采用ql混沌映射作为混沌模型，为了增加序列的随机性，降低相关性，在经过广义三阶参数fibonacci的函数模型处理后，再用此广义fibonacci函数与logistic映射耦合得到广义三阶fibonacci混沌系统：

xn+1＝afql＝(f(q(γ,β)))+l(x0,μ)mod1(4)

其中，q(γ,β)表示ql混沌系统；f(q(γ,β))表示将fibonacci的f-l数列与ql混沌系统在式(2)中级联所求的fj；l(x0,μ)表示初始状态为x0以及参数为r的logistic混沌系统。不断迭代式(4)产生均匀且非相关的广义三阶fibonacci伪随机混沌序列。图1即为gtfcs伪随机序列的发生器的设计示意图。

二、伪随机发生器设计步骤

步骤1：首先选取量子logistic(ql，quantumlogistic)混沌系统的初始值及系统控制参数，带入ql混沌系统中，为了验证发生器的可行性以及数据的准确性，实验次数至少要达到六百次，该实验进行了一万次运行实验，得到xi、yi和zi范围均在(0,1)内的实数三阶序列(xi，yi，zi)。

步骤2：分别选取logistic混沌系统和fibonacci数列的初始值及系统控制参数，将fibonacci数列和logistic混沌系统联合产生fibonacci的f-l序列；

步骤3：将步骤1所产生的ql混沌三阶序列(xi，yi，zi)带入公式(2)中分别作为广义三阶fibonacci函数模型的参数ai、bi、ci，同时将步骤二中的f-l序列带入公式(2)中作为广义三阶fibonacci函数模型的函数值fi，并不断迭代产生广义三阶fibonacci函数模型序列；

步骤4：将步骤3中通过公式(2)产生的广义三阶fibonacci函数模型序列与logistic混沌系统带入公式(4)中级联耦合，再对公式(4)广义三阶fibonacci混沌系统进行迭代，产生最后所需的均匀非相关的序列。

根据上述步骤设计的伪随机序列发生器相比于一般的序列发生器具有较好的伪随机特性，并且gtfcs伪随机序列发生器产生的序列具有较高的安全性，产生如图2所示的均匀且非相关的伪随机混沌序列。该算法是混合多混沌的结合，这样可以确保伪随机序列发生器的复杂性安全性。从图2中可以看出序列值具有均匀分布性。

三、混沌伪随机序列的分析

gtfcs伪随机序列发生器能够并行地快速生成多维的混沌伪随机序列，可以从密钥空间分析、初值敏感性、相关性分析、复杂度、相空间结构等多方面通过python仿真分析这些伪通机序列特性。

1、密钥空间分析

密钥空间分析是一个重要的检测方法，它是对随机序列发生器在产生加密密钥应用的可行性的必要检测。检测选取混沌系统的初始值和控制参数作为密钥，检测目标需要密钥空间足够大，才能保证安全性。实验数据表明，将该算法的数据精确到小数点后11位，密钥空间为10^11*6＝10⁶⁶≈2²¹⁹，远大于2¹²⁸的密钥空间，空间足够大，增大了抵抗密钥攻击的能力。

2、初值敏感性分析

初值敏感性分析是一个系统安全性说明的重要部分，伪随机序列拥有好的初值敏感性才能满足实际应用。通过对密钥初始值进行轻微的改变，来观察产生的序列与原始序列是否有强烈的变化，通过数据差波动情况达到测试的目的。利用gtfcs伪随机序列算法产生序列，其中一个为原始序列，另一个序列是对初始值取值偏差为10^-11所得到的新数列，图3为两序列的差值图，上下变化的差值说明该算法对密钥初始值具有很强的敏感性。

3、相关性分析

相关性是混沌序列重要的性质，好的相关性是系统能够可靠运行的重要保证之一。自相关函数是描述在任意两个不同时刻分别取初值x0＝123，x0＝123+10^-11的相关程度；互相关函数给出了两个随机序列是否相关的一个判断指标，自相关描述同一序列在不同的时刻的相关程度。

当系统初始参数x0＝123，x1＝1.0，x2＝1.0，m＝191，参数ai,bi,ci为初值带入到ql混沌系统产生的参数序列，系统迭代10000次后，产生的序列的自相关和互相关特性，通常认为相关系数在0-±0.09为没有相关性，0.1-±0.30为弱相关。从图4可以看出，序列具有类似δ－like的性质，有尖锐的自相关特性和良好的互相关特性。

4、随机性测试

随机性采用美国nist公布的sp800-22随机数测试标准对序列进行测试，即sp800-22标准。该标准从不同角度检验伪随机序列在统计特性上相对于理想随机序列的偏离程度，一般认为通过了该检验标准的伪随机序列具有好的随机性能。

计算判断标准p-value的值：

其中，erfc为互补误差函数，sobs为统计值，评判标准为若p-value的值大于0.01，则认为测试的序列符合随机序列；反之，则认为序列不满足随机序列的要求。由上述测试方法得p-value＝0.85218＞0.01，故可认为序列是随机序列。

四、混沌伪随机序列的对比分析

通过从密钥空间分析、初值敏感性、相关性分析、差值特性、复杂度、相空间结构等多方面通过python仿真分析伪随机序列的特性。为了更直观展现gtfcs伪随机序列的特性，分别对ql(ql的三维具有相似关联的特性，可任取一维进行数据分析，而x轴为取值为(0,1)，更方便与其他一维混沌进行对比)、f-l混沌和gtfcs进行对比，选取了典型的信息熵、序列直方图、序列复杂度等方法进行对比分析。

1、信息熵

信息熵是一个数学上颇为抽象的概念，是描述信息的不确定性和混乱程度。一个系统越是有序，信息熵就越低；反之，一个系统越是混乱，信息熵就越高。信息熵与事件的概率分布有关，信息熵越大。当所有概率均等的情况下，信息熵越大，通过信息熵不仅能反映出混乱程度，也可以间接性反映出随机数据的均衡性。计算公式如下：

通过信息熵的大小可以反映混沌系统的混乱情况，在进行了一万次迭代后，得到的gtfcs信息熵值为9.01524，ql系统(x轴)的信息熵为8.97375，f-l系统为8.93477，系统越是混乱，信息熵就越高，显然，gtfcs数值更大。为了进一步说明系统的稳定性，分别取了七段数据的信息熵进行对比，通过表1可以比较出新的系统数值不仅高于其他两个，而且稳定性增长。

表1系统取多段信息熵

2、序列直方图

为了更直观的观察系统输出序列分布均匀情况，绘制了(a)ql(x轴)、(b)f-l直方图和(c)gtfcs的直方图，分别如图5所示。

由图5可以看出ql、f-l系统和gtfcs生成的混沌序的列分布特点，图5(a)ql(x轴)直方图、(b)f-l系统的直方图分布不均匀，并且ql受初始影响很大，而gtfcs采用fibonacci数列“扰动”的方法来得到混沌序列，并且将f-l混合序列作为广义三阶fibonacci函数模型函数值，使得混沌行为复杂度提高，弥补了logistic混沌序列分布不均匀的缺点，混沌数据分布更加均匀平滑，没有出现起伏波动较大的现象，更符合随机序列发生器的要求。

3、序列复杂度

序列复杂度表示了序列与理想随机序列的相似程度，通过序列复杂度的大小可以判断序列的复杂情况，其数值越大，说明与理想随机序列越相似，就越难以被恢复，越具有安全性。图6中给出了f-l系统、ql和gtfcs的apen值，对比四张图可以得到以下结论：gtfcs模型生成的伪随机序列的apen值最大，apen值约为1；其他几种模型数值偏低。这充分说明此模型生成的伪随机序列的复杂度明显高于f-l系统、ql模型生成的伪随机序列。

4、空间分布

对三个模型伪随机序列的连续数值构造空间结构图，以ql(x轴)、f-l系统、gtfcs生成的序列xn为基础进行取点，以点(xi，xi+1)绘制二维空间结构图，遍历完整个序列xn；同理，以点(xi，xi+1，xi+2)绘制三维空间结构图，得到图7(a)ql(x轴)空间二维、三维结构图、(b)f-l空间二维、三维结构图和(c)gtfcs序列空间二维、三维结构图。

由图7可以看出，ql混沌映射输出序列空间结构呈现曲线特征，说明具有较高的相关性，而f-l存在分布不均匀的现象，并且是随着迭代的次数增加，随机数的分布呈现出初始过于密集，逐渐出现稀疏不均匀分布的现象，这些信息对于加密等应用非常不利，而图7(c)gtfcs序列是利用量子logistic混沌系统产生的混沌序列作为广义三阶fibonacci函数模型的参数，然后利用f-l联合混沌作为广义三阶fibonacci函数的变量，再与logistic映射级联耦合，不仅增加了可控参数的数量，同时利用混沌序列再次来作为数据的输入，增强了数据混沌性，使得序列分布表现出来了好的均匀性和无序性。