相称意指投影平面的方程不能以晶格的基准矢量的整数表 不O
[0082] 超晶格投影基于 Ν. G. deBruijn，"Algebraic theory of Penrose，s nonperiodic tilings of the plane, I, IINederl. Akad. ffetensch. Indag. Math. 43 (1981) 39-52, 53-66,以及 Marjorie Senechal 的著作，"Quasicrystals and geometry"，Cambridge UP 1995给出的理论。在下文中，砖形体使用Eugenio Durand的"QuasiTiler"程序，The Geometry Center，University of Minnesota，1994 得到；其也描述于 M. Senechal 的著作 中并根据 GNU General Public License 分配。
[0083] 参考图1，超晶格投影的原理以二维正方形超晶格（G)为实例解释，其具有具有基 准矢量（u，v)的单位晶胞（C)，投影在作为所选择的子空间的一维线（z)上。充分考虑包含 在平行于线（z)的条（S)中的以黑体标记的格点，和一个大单位晶胞；所有其它格点通过晶 格平移对称性与条（S)中的格点相关。包含在晶格条（S)中的各个格点投影在线（z)上。
[0084] 正方形超晶格（G)的单位晶胞（C)在投影在线（z)上时得到长（a)和短（b)投影 距离，在下文中分别称为"a"片段和"b"片段，其一起限定在形成子空间的线（z)上得到的 线性砖形体。如由图1所证明，在线（z)上的投影距离（a)和（b)的交替形成取决于线（z) 相对于格（G)的倾度的序列。如果线（z)的倾度为格（G)的基准矢量（u，ν)的整数比，则 距离（a，b)的序列是周期性的；否则，如果线（z)与格（G)的基准矢量不相称，则距离（a， b)的序列是非周期性的。然而，距离（a，b)的所得线性砖形体总是具有离散傅里叶变换， 因为它是规则晶格（G)的投影。
[0085] 线（z)上距离（a，b)的完全线性砖形体通过正方形超晶格（G)的单位晶胞（C)的 中心沿着代表子空间的线（z)简单位移而得到。每当正方形超晶格（G)的完全顶点，即两 个相邻的格点落入位移的单位晶胞（C)内时，得到所述顶点在线（z)上的投影。
[0086] 可能产生两种情况：1)沿着正方形超晶格（G)的基准矢量U的顶点落入位移的单 位晶胞（Cl)内，则单位晶胞的中心在奇数半整数u坐标（图1中的2. 5)处，而它的V坐标 是自由的，并得到"a"片段投影；或者2)沿着正方形超晶格（G)的基准矢量v的顶点落入 位移的单位晶胞（C2)内，则单位晶胞的中心在奇数半整数V坐标（图1中的1. 5)处，而它 的u坐标是自由的，并得到"b"片段投影。
[0087] 因此，在沿着作为所选择的子空间的线（z)的各超晶格基准矢量的所有奇数半整 数值下，超晶格的单位晶胞宽度条的扫描为得到线（z)的完全砖形体的方法。在实践中，扫 描通过从代表子空间的线（z)的超空间方程计算对应于奇数半整数u坐标并突出"a"片段 的所有V坐标值，以及对应于奇数半整数V坐标并突出"b"片段的所有u坐标值而进行。
[0088] 突出"a"或"b"片段通过突出限定该片段的两个格点而进行；格点在线上的投影 用于评估限定格点的矢量与限定线的矢量之间的无向积（scalar product)，其中考虑线的 原点。
[0089] 如果是所识别的片段形成不间断的"阶梯（staircase) "，则线（z)上的毗边的砖 形体通过将"阶梯"的所有"弯折（kinks)"，即确定为形成条（S)内的顶点的所有格点投影 到线（z)上而得到。所述投影如技术人员所知通过在超空间中的格点与沿着（z)的单位矢 量之间形成无向积（内积）而得到。
[0090] 三维立方超晶格在作为子空间的线（z = P0+u*Pl)上的投影通过一般情况下三个 投影距离（a，b，c)的周期性或非周期性顺序而产生相应的线（z)的砖形体。在这种情况 下，"阶梯"为沿着充当子空间的线（z)通过立方超晶格的三维通路。
[0091] 然而，请注意，现在限定三维阶梯的点不再限于条中，而是在围绕线（Z)的三维 "圆柱体"中，其由沿着限定线（Z)的单位矢量（Pl)集中于线（Z)上的一个单位晶胞平行位 移而产生。首先发现在所述"圆柱体"内部以及连接所述"圆柱体"内的所有相邻格点的格 点产生三维阶梯。
[0092] 图1所述原理可概括化至晶格从较高维空间（超空间）投影到作为子空间的平面 (P)上的情况，产生平面（P)中的砖形体。我们现在首先寻找位于由沿着限定平面（P)的单 位矢量（PU P2)集中于平面（P)上的一个单位晶胞平行位移而产生的"超圆柱体"内的那 些超晶格点。然后我们寻找位于所述"超圆柱体"内的相邻格点的那些正方形。投影到平 面（P)上，由所述"超圆柱体"内的四个相邻格点形成的所有正方形得到平面（P)的非周期 性砖形体。
[0093] 以数学细节，当η维超空间中的晶格投影到所述超空间中的不相称平面P = P0+u*Pl+v*P2上时得到非周期性砖形体的方法包括步骤：
[0094] a)作为集中于所述平面（P)上的单位晶胞的所有角距离平面（P)的最大法向距离 (maximal normal distance, MND)确定"超圆柱体"的半径；
[0095] b)找出位于所述"超圆柱体"内，即距离平面（P)的法向距离（normal distance， ND)小于最大法向距离（MND)且具有落入所述平面⑵上的确定区域内部的投影（u，v)的 所有格点；
[0096] c)将步骤b)中找到的点中存在的四个相邻格点的所有正方形投影到所述平面 (P)上；
[0097] 其中η维超晶格点H在平面P上的投影（u，V)通过评估η维无向积u = (H_P0)*P1 ; V = (H-PO) *P2而得到；点H至平面（P)的法向距离（ND)通过Pythagoras公式得到：在η 维空间中，ND2 = (H-PO) * (H-PO) -u 2-ν2。
[0098] 在具有不同长度的η个基准矢量和在任意值所述基准矢量之间的相互角的η维超 空间中优选非立方晶格的情况下，晶格的单位晶胞由平行四边形定界。在这种情况下，如本 领域技术人员所知，所述平行四边形投影到平面（P)上，其中考虑超空间中非立方晶格的 特定度量。
[0099] 砖形体中正方形或平行四边形的不同投影数目取决于所选择的超空间的维数。事 实上，所得正方形投影的不同序列数对应于可能的扫描方向并通过组合式η*(η-1)/2得 到，其中η为超空间中晶格的维数。
[0100] 图2a显示投影到与立方晶格的本体对角线（1，1，1)正交的平面上的三维立方晶 格。得到规则的周期性砖形体，因为由矢量zl和z2定义的所选择的平面与立方晶格的基 准矢量（u，v，w)相称，例如 zl = u-v ;z2 = u-w。
[0101] 图2b显示投影在不相称平面上的相同三维立方晶格。在不同的投影角下看到立 方形基本晶胞的三个正方形面，且所得"阶梯"为非周期性的。
[0102] 在图2a和2b中，根据上述理论，得到三个不同系列的正方形投影，对应于三维超 空间中三个可能的扫描方向：
[0103] (u =奇数半整数；V =奇数半整数；w)
[0104] (u =奇数半整数；V ;w =奇数半整数）
[0105] (u ;v =奇数半整数；w =奇数半整数）
[0106] 图3显示四维立方超晶格在平面上的特定投影。所得砖形体为非周期性的并称为 "Amman-Beenker砖形体"。给定特定投影，砖形体仅由两类砖块组成：两种不同取向的正方 形，和四个不同取向的菱形，构成总计六个不同的投影。
[0107] 4D坐标（u，V，w，x)的扫描在这种情况下产生6个不同的系列，对应于所述6个不 同的正方形投影（0ΗΙ代表奇数半整数）：
[0108] (u = OHI ；v = OHI ；w ；x)
[0109] (u = OHI ；v ；w = OHI ；x)
[0110] (u = OHI ；v ；w ；x = OHI)
[0111] (u ；v = OHI ；w = OHI ；x)
[0112] (u ；v = OHI ；w ；x =