本发明涉及一种机械制造加工技术，特别涉及一种基于动态轮廓采样法的轴向超声振动辅助磨削工件表面形貌仿真预测方法。
背景技术：
超声振动辅助磨削是将超声振动加工技术和普通磨削加工技术相结合的一种复合加工工艺。大量研究结果表明轴向超声振动辅助磨削可以获得高质量的工件表面。为了深入分析轴向超声振动和磨削参数对工件表面形貌创成过程的影响，有必要对轴向超声振动辅助磨削的工件表面形貌进行预测。
通常，在工件表面形貌预测中采用工件拓扑矩阵gmn来表示工件表面形貌。即在工件表面上以x方向间距δx和y方向间距δy划分网格。以网格格点p(m，n)处的高度值z(m，n)作为工件拓扑矩阵gmn中的元素，如图1所示。工件表面形貌仿真实际上就是需要通过数学运算计算出砂轮上众多磨粒磨削后的工件拓扑矩阵。
常规的工件表面形貌计算方法需要对砂轮表面形貌进行静态离散采样，用砂轮拓扑矩阵hij表示。图1中，以砂轮表面磨粒轮廓上的采样点h(i，j)的高度值为h(i，j)作为砂轮拓扑矩阵hij的元素。计算普通磨削的工件表面形貌时，依次取出砂轮拓扑矩阵中的采样点h(i，j)，计算其轨迹，如图1中曲线1。然后求出曲线1在所经过的各个工件拓扑矩阵格点p(m，n)处的高度值z(m，n)。计算经过格点p(m，n)处的每条轨迹，求取最小值min(z(m，n))即为磨削后该点的工件表面最终残余高度。当求出了工件表面每个格点的最终残余高度后，即可得出工件表面形貌。
但这种方法不适用于轴向超声振动辅助磨削的工件表面形貌计算。因为普通磨削和轴向超声振动辅助磨削的磨粒运动轨迹不同。在普通磨削中磨粒轮廓上的采样点h(i，j)的运动轨迹(图1中曲线1)仅存在于一个平行于oxz平面的截面内，能全部覆盖到工件拓扑矩阵的格点上。然而在轴向超声振动辅助磨削中，采样点h(i，j)的轨迹是空间三维曲线(图1中曲线2)，在平面oxy上的投影为曲线3，可以观察到曲线3不能完全覆盖到工件拓扑矩阵的格点上，因此无法在工件拓扑矩阵的格点p(m，n)处计算曲线2对应的的高度值z(m，n)，从而无法得到工件表面形貌。这是因为用砂轮拓扑矩阵来表示砂轮表面形貌实质上是预先地，静态地对磨粒轮廓进行了采样。在有轴向超声振动存在时，砂轮上的采样点不能始终与工件表面的格点对齐，也就无法进行表面形貌仿真。
此外，目前的磨削加工工件表面形貌仿真方法中，磨削弹性变形模型和塑性堆积模型都是在普通磨削条件下建立的，而在轴向超声振动条件下，由于有磨削沟槽变宽效应，这两个模型也会不同。
技术实现要素：
本发明是针对现有仿真方法由于采用静态采样方法而不能在有轴向超声振动时进行仿真的问题，提出了一种轴向超声振动辅助磨削工件表面形貌仿真预测方法，可以跟随超声振动来动态地选取磨粒轮廓采样点。在此基础上针对轴向超声振动的特点建立磨削沟槽变宽模型，进一步引入磨削弹性变形模型和塑性堆积模型对动态轮廓采样方法进行修正，实现几何仿真和物理仿真的结合，最终生成工件表面形貌预测模型，并输出结果图形。根据工件表面形貌的仿真预测结果，可以预先对加工参数进行优化选择，从而提高磨削加工质量。
本发明的技术方案为：一种轴向超声振动辅助磨削工件表面形貌仿真预测方法，具体包括如下步骤：
1)输入磨削参数，导入砂轮表面形貌数学模型：
模型用矩阵g表示，矩阵g中每一行的元素表示一颗磨粒的信息，对于第i颗磨粒的信息，包括其在砂轮表面坐标系中的坐标(x’i，y’i，z’i)及磨粒形状简化为球形的直径dgi，砂轮数值模型中共有n颗磨粒，矩阵g的形式为n×4，
2)计算磨粒运动轨迹：
以工件为静止参照系，建立工件坐标系oxyz，其中x轴沿工件进给反方向，y轴沿砂轮轴向，原点o的位置选在磨削前的工件表面最高处，在轴向超声振动辅助磨削过程中，磨粒的运动由三部分组成：绕砂轮轴以角速度ωs的圆周运动，沿进给方向相对于工件以线速度vw的直线运动，沿砂轮轴向相对于工件以振幅a，频率f进行的超声振动；
设磨削开始的时刻t0＝0s，此时砂轮表面坐标系的原点o’位于砂轮最低点且位于工件坐标系原点o的正上方，超声振动初相位为0；
任意磨粒i在工件坐标系中的轨迹方程：
其中rs为砂轮半径，t为从t0时刻开始磨粒运动的时间，lz为砂轮轴线到o的垂直距离，
3)动态轮廓采样方法：
在工件表面形貌预测中采用工件拓扑矩阵gmn表示工件表面形貌，即在工件表面上以x方向间距δx和y方向间距δy划分网格，以网格格点p(m，n)处的高度值z(m，n)作为工件拓扑矩阵gmn中的元素，
首先，在工件表面上设置一系列平行于平面oyz的采样截面，这些采样截面过工件拓扑矩阵的格点，从o点开始沿着x轴正方向的编号依次为1、2、3……，磨削加工时，某一磨粒在c1点切入工件，在c2点离开工件，c1点右边的采样截面n1是第一个发生干涉的采样截面，c2点左边的采样截面n2是最后一个，磨粒在磨削工件的过程中依次穿过了从n1到n2的一系列采样截面，因此计算出这些采样截面内各个格点的残余高度值就可以求出该磨粒磨削后的工件表面形貌，n1和n2的值可以由下式求出
式中l1为c1点到工件坐标系原点o的水平距离，l2为c2点到o的水平距离，l1和l2的值可以利用步骤2)中磨粒轨迹方程求出；
计算第n个采样截面内的各个格点残余高度值时，首先计算该采样截面到工件坐标系原点o的水平距离xn：
xn＝(n-1)δx
将xn的值代入磨粒轨迹方程中可以求出在采样截面n内磨粒中心到工件坐标系原点o的水平距离yn和垂直距离zn，于是磨粒轮廓在采样截面n内的位置就可以确定，磨粒轮廓方程表示为：
(y-yn)2+(z-zn)2＝(dg/2)2
式中dg为磨粒直径，在c1和c2中间的c3点到c4点之间磨粒和工件发生干涉，c3点右边的格点p1(m1，n)是第一个发生干涉的格点，c4点左边的格点p2(m2，n)是最后一个，m1和m2的值可以由下式求出，
式中l3为c3点到工件坐标系原点o的水平距离，l4为c4点到o点的水平距离，l3和l4的值可以利用磨粒轮廓方程求出。
随后，在从p1到p2的一系列格点处对磨粒轮廓进行采样，其中某一采样点h(m，n)到工件坐标系原点o的水平距离为lm：
lm＝(m-1)δy
将y＝lm代入磨粒轮廓方程中得下式，即可求出该采样点h(m，n)的纵坐标z(m，n)，
假设发生干涉的工件材料被完全去除，则z(m，n)的值就是磨削后该点的工件残余高度值。将采样点h(m，n)的坐标值赋给格点p(m，n)，完成该格点处的更新，同理，更新采样截面n内从p1点到p2点的所有格点坐标，即完成采样截面n内的计算；当从n1到n2的所有采样截面都更新完成后，就可以得到单颗磨粒磨削后的工件表面形貌，随后继续在此基础上调用其他磨粒进行更新，最终得到完整的工件表面形貌；
4)对采样方法的修正：针对轴向超声振动辅助磨削的特点，建立了磨削沟槽变宽模型，并在此基础上引入磨削弹性变形模型和塑性堆积模型，对动态轮廓采样方法进行修正。
所述步骤4)中磨削沟槽变宽模型修正方法如下：
沟槽轮廓为椭圆，椭圆短轴为dg，长轴为de，沟槽轮廓方程表示为：
dg和de的比值为：
θ是磨粒运动速度vg与采样截面n之间的夹角，在采样截面n处，vg可以分解为沿x轴的速度分量vx和沿y轴的速度分量vy，根据运动的合成法得到：
vx和vy的值可以由磨粒轨迹方程对时间t求导得到：
式中tn为磨粒中心运动到采样截面n处的时刻，vs为砂轮线速度，可得de的值：
当de的值确定后，沟槽轮廓方程随之确定，当存在轴向超声振动时，采用沟槽轮廓方程代替步骤3)中的磨粒轮廓方程，在沟槽轮廓上选取采样点。
所述步骤4)中磨削弹性变形模型修正方法如下：
基于球形磨粒和理想平面磨削假设建立了磨削弹性变形理论模型，磨粒受力情况与测试布氏硬度时相似，磨粒受到正压力为r，磨粒切入工件的深度为dp，当磨粒移动切削工件时，r的方向转过了角度θ’，磨粒在底部受到一个摩擦力μr，μ为摩擦系数，磨粒退让值δc和工件弹性恢复值δw的计算公式如下：
δc＝c[r(cosθ′-μsinθ′)]2/3
δw＝r(cosθ′-μsinθ′)/k
式中c为常数，取值范围为0.08～0.25，平均值为0.15，k为工件刚度系数；
θ’和r的计算公式分别是：
r＝πb2b
式中b为磨粒切入工件部分弦长的一半，b为工件材料的布氏硬度值；
几何关系可以得到b的计算公式为：
理想弹性变形模型中磨粒切入工件的深度为dp是在工件表面为理想平面的假设下测量的，实际工件表面不是理想平面，采样截面n内沟槽轮廓与实际工件表面干涉的情况下，实际工件表面低于理想工件表面，从h1(m1，n)到h2(m2，n)的一系列点是真正发生干涉的采样点,每个采样点具有不同的切入深度，虽然实际工件表面不是理想平面，但是磨削中实际工件表面是很平滑的，各相邻格点之间的高度差不大，因此认为理想弹性变形模型仍近似成立，只是需要用各采样点的切入深度平均值dp’代替理想弹性变形模型中的dp，
式中zw(m，n)为磨削前工件表面格点p(m，n)的实际高度，z(m，n)为采样点h(m，n)的深度，磨削后工件表面格点p(m，n)的残余高度应为：z'(m,n)＝z(m,n)+δc+δw
更新工件表面形貌模型时，以z’的值代替zw的值即可。
所述步骤4)中塑性堆积模型修正方法如下：
实际磨削加工时，工件上与磨粒发生干涉的材料只有一部分被去除，形成磨屑，而没有被去除的材料则发生塑性变形，堆积在沟槽两侧，塑性堆积模型基于球形磨粒和理想平面磨削假设，去除材料的截面积为ag，材料堆积部分的轮廓假设为抛物线，高度为hp，宽度为2wp，截面积为ap，磨粒轮廓与堆积轮廓相交处切线的倾斜角为αp，wp和hp的值分别为：
ap的值由磨削效率β确定，
对于轴向超声振动辅助磨削，考虑到沟槽变宽现象，应采用建立的椭圆沟槽轮廓来代替理想塑性堆积模型中的圆形磨粒轮廓，
理想塑性堆积模型中堆积轮廓的底部是假设为理想平面的工件表面，但在磨削中实际工件表面不是理想平面，而且位置低于该理想平面，虽然实际工件表面不是理想平面，但是由于磨削中工件表面很平滑，近似平面，因此认为理想塑性堆积模型仍近似成立，沟槽轮廓从采样点h1(m1，n)到h2(m2，n)与实际工件表面干涉，去除材料的截面积ag应按照实际干涉情况计算：
为了建立堆积轮廓，用采样点h1到h2的实际工件表面高度平均值建立一个等效平面代替理想塑性堆积模型中的理想平面，该等效平面高度值zd为：
堆积轮廓高出等效平面的高度仍为hp，但宽度增加为2wp’，与沟槽变宽模型同理，堆积轮廓变宽的程度与沟槽轮廓变宽的程度相同，可以计算出wp’的值：
在确定了hp，wp’，zd的值后，堆积轮廓的位置和形状就完全确定了，在堆积轮廓覆盖到的各个格点处计算堆积轮廓的高度值，替代原格点高度值，完成一个采样截面内的更新。
本发明的有益效果在于：本发明轴向超声振动辅助磨削工件表面形貌仿真预测方法，克服了现有仿真方法由于采用静态采样方法而不能在有轴向超声振动时进行仿真的缺点。在此基础上针对轴向超声振动的特点建立了磨削沟槽变宽模型，进一步引入磨削弹性变形模型和塑性堆积模型对动态轮廓采样方法进行修正，最终生成了工件表面形貌预测模型，并且预测结果也得到了试验验证。它在磨削加工领域具有良好的实用价值。
附图说明
图1为本发明中工件拓扑矩阵示意图；
图2为本发明中所用砂轮表面形貌数学模型三维图；
图3为本发明中轴向超声振动辅助磨削示意图；
图4为本发明中采样截面设置方式示意图；
图5为本发明中采样截面n内的采样点设置方式示意图；
图6为本发明中沟槽变宽模型示意图；
图7为本发明中采样截面n内的沟槽轮廓示意图；
图8为本发明中理想弹性变形模型示意图；
图9为本发明中实际弹性变形模型示意图；
图10为本发明中理想塑性堆积模型示意图；
图11为本发明中实际塑性堆积模型示意图；
图12为本发明中工件表面形貌预测程序流程简图；
图13a为本发明中普通磨削的预测工件表面形貌；
图13b为本发明中轴向超声振动辅助磨削的预测工件表面形貌；
图14a为本发明中普通磨削的实测工件表面形貌；
图14b为本发明中轴向超声振动辅助磨削的实测工件表面形貌。
具体实施方式
一种基于动态轮廓采样法的轴向超声振动辅助磨削工件表面形貌仿真预测方法，该方法具体步骤如下：
步骤一：导入砂轮表面形貌数学模型
磨削是利用砂轮表面的磨粒进行多刃、微刃切削，砂轮表面磨粒的直径和分布情况对磨削后的工件表面形貌有至关重要的影响。一般而言，砂轮上磨粒的直径大小在某一区间内是服从高斯分布的，在砂轮表面的位置是服从随机分布的，对此，现在已经有成熟的砂轮表面形貌仿真方法可以使用。为了将砂轮表面形貌数学模型应用于本方法，用现有方法生成的砂轮表面形貌模型应该满足如下条件：该模型用矩阵g表示，矩阵g中每一行的元素表示一颗磨粒的信息。对于第i颗磨粒的信息，包括其在砂轮表面坐标系中的坐标(x’i，y’i，z’i)及磨粒形状简化为球形的直径dgi。砂轮数值模型中共有n颗磨粒，矩阵g的形式为n×4。该模型绘图输出后如图2所示所用砂轮表面形貌数学模型三维图。
步骤二：计算磨粒运动轨迹
轴向超声振动辅助磨削是在普通磨削的基础上，将高频简谐振动沿砂轮轴向施加到工件或砂轮上的一种复合加工技术。其磨粒运动轨迹与普通磨削磨粒运动轨迹有很大不同，对工件表面形貌形成过程的作用也不一样，因此有必要用数学公式表达出轴向超声振动辅助磨削中砂轮表面任意磨粒的运动轨迹。为便于研究，以工件为静止参照系，建立工件坐标系oxyz，如图3所示轴向超声振动辅助磨削示意图，其中x轴沿工件进给反方向，y轴沿砂轮轴向，原点o的位置选在磨削前的工件表面最高处。在轴向超声振动辅助磨削过程中，磨粒的运动由三部分组成：绕砂轮轴以角速度ωs的圆周运动，沿进给方向相对于工件以线速度vw的直线运动，沿砂轮轴向相对于工件以振幅a，频率f进行的超声振动。
设磨削开始的时刻t0＝0s，此时砂轮表面坐标系的原点o’位于砂轮最低点且位于工件坐标系原点o的正上方，超声振动初相位为0。由初始条件和运动学关系易得o’在工件坐标系中的轨迹方程为：
式中rs为砂轮半径，t为从t0时刻开始磨粒运动的时间，lz为砂轮轴线到o的垂直距离，lz可以通过式(3)计算：
lz＝rs+hmax-ap(3)
式中hmax为砂轮表面磨粒的最大突出高度，ap为磨削深度。已知任意磨粒i在砂轮表面坐标系中的坐标为(x’i，y’i，z’i)。记磨粒i到砂轮轴线的垂线与o’到砂轮轴线的垂线之间的夹角为αi，可由式(4)计算:
此处li表示的是第i个磨粒到砂轮坐标系原点的弧长。
当砂轮从t0时刻开始转过角度αi时，磨粒i恰好位于砂轮最低点。考虑到磨削时一颗磨粒可能多次切入工件，当砂轮转过角度为αi+2π(λ-1)时，磨粒i也恰好位于砂轮最低点，λ表示磨粒i切入工件的次数。记此时刻为ti：
由式(5)可知磨粒i运动到砂轮最低点的时刻比o’运动到砂轮最低点的时刻落后了ti秒，在y轴方向上，磨粒i相对于o’偏移的距离为y’i，在砂轮半径方向上，磨粒i高出砂轮表面的距离为z’i，根据这些关系可以在式(2)的基础上得到任意磨粒i在工件坐标系中的轨迹方程：
式(6)即为砂轮表面任意磨粒i在工件坐标系中的运动轨迹方程的通式。
步骤三：动态轮廓采样方法
在工件表面形貌预测中通常采用工件拓扑矩阵gmn表示工件表面形貌。即在工件表面上以x方向间距δx和y方向间距δy划分网格。以网格格点p(m，n)处的高度值z(m，n)作为工件拓扑矩阵gmn中的元素，如图1所示。
首先，在工件表面上设置一系列平行于平面oyz的采样截面，这些采样截面过工件拓扑矩阵的格点，从o点开始沿着x轴正方向的编号依次为1、2、3……如图4所示。δx和δy的取值决定了工件表面拓扑矩阵的网格大小，也就决定了仿真精度，其具体值应该由本方法的使用人员根据需求设置。在后面实施例中计算图13的结果时采用的值为：δx＝δy＝0.004mm，dgi平均值＝0.069mm，可作为参考。
磨削加工时，某一磨粒在c1点切入工件，在c2点离开工件。c1点右边的采样截面n1是第一个发生干涉的采样截面，c2点左边的采样截面n2是最后一个。磨粒在磨削工件的过程中依次穿过了从n1到n2的一系列采样截面，因此计算出这些采样截面内各个格点的残余高度值就可以求出该磨粒磨削后的工件表面形貌。n1和n2的值可以由式(7)求出。
式中l1为c1点到工件坐标系原点o的水平距离，l2为c2点到o的水平距离，l1和l2的值可以利用磨粒轨迹方程(6)求出。
计算第n个采样截面内的各个格点残余高度值时，首先计算该采样截面到工件坐标系原点o的水平距离xn：
xn＝(n-1)δx(8)
将xn的值代入磨粒轨迹方程(6)中可以求出在采样截面n内磨粒中心到工件坐标系原点o的水平距离yn和垂直距离zn。于是磨粒轮廓在采样截面n内的位置就可以确定，如图5所示。磨粒轮廓可以用方程(9)表示。
(y-yn)2+(z-zn)2＝(dg/2)2(9)
式中dg为磨粒直径。图5中，在c3点到c4点之间磨粒和工件发生干涉。c3点右边的格点p1(m1，n)是第一个发生干涉的格点，c4点左边的格点p2(m2，n)是最后一个。m1和m2的值可以由式(10)求出。
式中l3为c3点到工件坐标系原点o的水平距离，l4为c4点到o点的水平距离，l3和l4的值可以利用磨粒轮廓方程(9)求出。
随后，在从p1到p2的一系列格点处对磨粒轮廓进行采样，其中某一采样点h(m，n)到工件坐标系原点o的水平距离为lm：
lm＝(m-1)δy(11)
将y＝lm代入磨粒轮廓方程(9)中得式(12)，即可求出该采样点h(m，n)的纵坐标z(m，n)。
假设发生干涉的工件材料被完全去除，则z(m，n)的值就是磨削后该点的工件残余高度值。将采样点h(m，n)的坐标值赋给格点p(m，n)，完成该格点处的更新。同理，更新采样截面n内从p1点到p2点的所有格点坐标，即完成采样截面n内的计算。当从n1到n2的所有采样截面都更新完成后，就可以得到单颗磨粒磨削后的工件表面形貌，随后继续在此基础上调用其他磨粒进行更新，最终得到完整的工件表面形貌。
由于有轴向超声振动的存在，在不同的采样截面中，磨粒中心到工件坐标系原点o的水平距离yn是不同的，因此采样点相对于磨粒轮廓是运动的，采样点始终与格点对齐，这就是动态轮廓采样方法。与砂轮表面形貌拓扑化方法相比，动态轮廓采样方法能够在每个采样截面内准确地反映磨粒的轮廓，使得对轴向超声振动辅助磨削的工件表面形貌预测得以实现。
步骤四：对采样方法的修正
上述动态轮廓采样方法是基于材料完全去除假设的，但在实际磨削加工中，考虑到发生干涉的工件材料并非完全去除，而是发生了一系列弹塑性变形。因此，针对轴向超声振动辅助磨削的特点，建立了磨削沟槽变宽模型，并在此基础上引入磨削弹性变形模型和塑性堆积模型，对动态轮廓采样方法进行修正。
1、磨削沟槽变宽模型的建立
许多学者通过试验发现，在轴向超声振动辅助磨削中，由于磨粒的轴向运动，沿着砂轮轴向的磨削沟槽变宽，不同磨粒的沟槽之间干涉程度增强，提高了工件表面质量。通常情况下对磨削后的工件表面粗糙度值测量是沿着砂轮轴向测量的，上述动态轮廓采样方法中设置的采样截面也是平行于砂轮轴向的。因此，为了使预测结果更加真实，需要考虑磨削沟槽变宽对工件表面形貌产生的影响，建立磨削沟槽变宽模型，如图6所示。图6是以俯视视角观察磨削沟槽，采样截面n实际上是磨粒从截面d-d到截面e-e运动过程中扫掠过的空间的一个斜截面。由于截面d-d到截面e-e的距离很短，磨粒运动近似直线运动，因此磨粒从截面d-d到截面e-e扫掠过的空间可以简化为一个直径为dg的圆柱体，以采样截面n斜截该圆柱体，所得轮廓为一椭圆，即为图7所示的沟槽轮廓，该椭圆短轴为dg，长轴为de，沟槽轮廓可以用方程(13)表示。
根据图7中的几何关系，dg和de的比值为：
θ是磨粒运动速度vg与采样截面n之间的夹角。在采样截面n处，vg可以分解为沿x轴的速度分量vx和沿y轴的速度分量vy。根据运动的合成法则可以得到：
vx和vy的值可以由磨粒轨迹方程(6)对时间t求导得到：
式中tn为磨粒中心运动到采样截面n处的时刻，vs为砂轮线速度。将式(16)代入式(15)，式(15)代入式(14)可得de的值：
当de的值确定后，沟槽轮廓方程(13)就随之确定了。从图7可以看出，沟槽轮廓产生的沟槽宽度w2比磨粒轮廓产生的沟槽宽度w1更宽。当存在轴向超声振动时，应该采用沟槽轮廓方程(13)代替磨粒轮廓方程(9)，在沟槽轮廓上选取采样点。对于不同位置的采样截面，de的值是不同的，这意味着在不同的采样截面对应有不同的沟槽轮廓方程，沟槽变宽的程度也是动态的。
2、磨削弹性变形模型的引入
磨削加工时，由于磨粒是由砂轮结合剂弹性支撑的，磨削时磨粒会发生弹性退让，另外磨削后工件材料也会发生弹性恢复。现有的仿真方法基于球形磨粒和理想平面磨削假设建立了磨削弹性变形理论模型，如图8所示。磨粒受力情况与测试布氏硬度时相似，磨粒受到正压力为r，磨粒切入工件的深度为dp。当磨粒移动切削工件时，r的方向转过了角度θ’，磨粒在底部受到一个摩擦力μr，μ为摩擦系数。磨粒退让值δc和工件弹性恢复值δw的计算公式分别是(18)和(19)。
δc＝c[r(cosθ′-μsinθ′)]2/3(18)
δw＝r(cosθ′-μsinθ′)/k(19)
式中c为常数，取值范围为0.08～0.25，平均值为0.15，k为工件刚度系数。θ'和r的计算公式分别是：
r＝πb2b(21)
式中b为磨粒切入工件部分弦长的一半，b为工件材料的布氏硬度值。由图8的几何关系可以得到b的计算公式为：
图8所示的理想弹性变形模型中磨粒切入工件的深度为dp是在工件表面为理想平面的假设下测量的。实际情况下，绝大部分磨粒是作为后续磨粒在已有磨痕的基础上继续磨削。实际工件表面不是理想平面，如图9所示为采样截面n内沟槽轮廓与实际工件表面干涉的情况，实际工件表面低于理想工件表面，从h1(m1，n)到h2(m2，n)的一系列点是真正发生干涉的采样点,每个采样点具有不同的切入深度。
虽然实际工件表面不是理想平面，但是磨削中实际工件表面是很平滑的，各相邻格点之间的高度差不大，因此认为理想弹性变形模型仍近似成立，只是需要用各采样点的切入深度平均值dp’代替理想弹性变形模型中的dp，如式(23)所示。
式中zw(m，n)为磨削前工件表面格点p(m，n)的实际高度，z(m，n)为采样点h(m，n)的深度。磨削后工件表面格点p(m，n)的残余高度应为：z'(m,n)＝z(m,n)+δc+δw(24)
更新工件表面形貌模型时，以z’的值代替zw的值即可。
3、磨削塑性堆积模型的引入
实际磨削加工时，工件上与磨粒发生干涉的材料只有一部分被去除，形成磨屑，而没有被去除的材料则发生塑性变形，堆积在沟槽两侧。为了考虑沟槽两侧的工件材料塑性堆积情况，引入现有仿真方法建立的普通磨削塑性堆积模型。如图10所示，该模型基于球形磨粒和理想平面磨削假设。去除材料的截面积为ag，材料堆积部分的轮廓假设为抛物线，高度为hp，宽度为2wp，截面积为ap。磨粒轮廓与堆积轮廓相交处切线的倾斜角为αp。wp和hp的值分别为：
ap的值由磨削效率β确定。
图10所示的理想塑性堆积模型是针对普通磨削加工建立的，对于轴向超声振动辅助磨削，考虑到沟槽变宽现象，应采用刚刚建立的椭圆沟槽轮廓来代替理想塑性堆积模型中的圆形磨粒轮廓。此外，理想塑性堆积模型中堆积轮廓的底部是假设为理想平面的工件表面，但在磨削中实际工件表面不是理想平面，而且位置低于该理想平面，如图11所示：
虽然实际工件表面不是理想平面，但是由于磨削中工件表面很平滑，近似平面，因此认为理想塑性堆积模型仍近似成立。沟槽轮廓从采样点h1(m1，n)到h2(m2，n)与实际工件表面干涉，去除材料的截面积ag应按照实际干涉情况计算：
为了建立堆积轮廓，用采样点h1到h2的实际工件表面高度平均值建立一个等效平面代替理想塑性堆积模型中的理想平面，该等效平面高度值zd为：
堆积轮廓高出等效平面的高度仍为hp，但宽度增加为2wp’。与沟槽变宽模型同理，堆积轮廓变宽的程度与沟槽轮廓变宽的程度相同，参照式(17)可以计算出wp’的值：
在确定了hp，wp’，zd的值后，堆积轮廓的位置和形状就完全确定了。在堆积轮廓覆盖到的各个格点处计算堆积轮廓的高度值，替代原格点高度值，完成一个采样截面内的更新。
如图12所示工件表面形貌预测程序流程图，按上述方法设计后的预测流程，按此流程可进行工件表面形貌预测。
根据本方法的预测流程，在典型加工参数条件下对普通磨削和轴向超声振动辅助磨削的工件表面形貌进行了预测，采用参数：砂轮外径300mm，超声振动频率f＝20.45khz，振幅a＝15μm，砂轮转速vs＝20m/s，工件进给速度vw＝1m/min，磨削深度ap＝4μm。预测得到的结果如图13a、13b所示。为了验证上述预测方法的准确性，进行了相应的验证试验。图14a、14b为试验实测的工件表面形貌。
对比图13a、13b的预测结果和图14a、14b的实测结果可以发现：图13a中的普通磨削沟槽狭窄、平直，相邻沟槽之间保持平行，沟槽两侧有明显隆起，残留高度较高，与图14a中的实测工件表面形貌特征相似。图13b中轴向超声振动辅助磨削的沟槽宽度较宽，沟槽走向略微弯曲，相邻沟槽之间有明显干涉，沟槽两侧的隆起被相邻沟槽相互切除，残留高度较低。图14b中的实测工件表面形貌特征相似。
进一步对比预测和实测工件表面粗糙度值ra：普通磨削预测值0.88μm，普通磨削实测值0.91μm，超声磨削预测值0.76μm，超声磨削实测值0.82μm。平均误差为5.3％，预测与试验结果接近。预测和试验实测的结果都表明了轴向超声振动辅助磨削所得的工件表面质量好于普通磨削。原因是在轴向超声振动的作用下磨粒轨迹变得更加复杂，导致沟槽宽度变宽，沟槽之间相互干涉作用增强，使得沟槽两侧原本残留的材料和隆起被去除，减小了工件表面的微观起伏，从而获得了更高质量的表面。
上述结果验证了预测方法的可行性和准确性。动态轮廓采样法可以准确地将沟槽轮廓映射到工件表面形貌模型上，而且可以方便地引入沟槽变宽模型、弹性变形模型和塑性堆积模型来提高预测精度，达到良好的预测效果。