Vi)满足：g(Vi)彡g(v.j)，jeN(i)或者g(Vi)彡g(v.j)，jeN(i)， 则称ViSg的极大值点或者极小值点；
[0089] 在EMD的分解过程中，双调和函数作为三维曲面三次样条插值的延伸，可用于计 算三维模型表面的上下包络。给定一个定义在三维模型表面Μ上的函数房;，同样可以通过 双调和函数最小化函数發的薄板能量，
[0090] 16)
[0091] 对应上式的欧拉-拉格朗日等式为：
[0092]
-『. (7)
[0093] 其中ΔΜ表示三维曲面Μ上的Laplace-Beltrami算子。当给定插值点和对 应的值{(Vl，g(Vl)，ieC)}，可以通过求解如下ηΧη的线性方程组来计算插值函数 (0vi,0v2,...,0(vf)):
[0094] L2 ·Φ= 0,s.t. ,Φ(Vl) =g(Vl),ieC, (8)
[0095] 其中C是标量函数g的插值点集，L是nXn的离散拉普拉斯矩阵，其元素表示如 下：
[0096] ω1= 10. 〇 (9)
[0097] 其中
示余切平均权重，α^和两个角度对应于边 (i，」_)，4为顶点Vi的维诺面积。
[0098] 迭代筛选过程的收敛标准为了判断每次通过筛选得到的函数是否是内蕴模态函 数IMF，确定了筛选过程的收敛标准：对于所有顶点，两次连续筛选结果卜和h,i的标准差 小于特定阈值，那么就停止筛选，确定当前结果为一个頂F。标准差的计算如下式：
[0099]
( 10^
[0100] 其中SD表示相邻两次信号值之间的标准差，hjphji表示相邻两次迭代计算的信 号值。
[0101] 和一维EMD分解一样，通常阈值只在在[0. 1，0. 3]这个区间中，阈值越小，頂Fs的 数量越多，反之亦然。本发明默认阈值为0.1。根据上面的介绍就可以进行模型表面信号 的EMD分解，其分解过程为：设置初始信号余量为三角网格模型的平均曲率，每次计算当前 余量的局部极值点，并对所有极值点进行插值，计算出上下包络的平均值，当前余量减去平 均值的结果更新为新的余量，直至前后两次余量之差小于规定的阈值或者超出最大迭代次 数为止；在此过程中，相邻两次余量之差即为不同尺度的IMFs，最后的余量为最终的信号 余量。
[0102] 根据平均曲率进行网格模型重构在上面的介绍中，已经将基于平均曲率的模型表 面信号分解为若干个MFs，可以根据需要调整它们，从而得到新的信号。本发明拟采用以模 型原始顶点集V为约束条件的最小二乘法来实现网格重建。该方法已经广泛用于拉普拉斯 表面处理领域，通过使如下的二次能量最小化计算得到的：
[0103] ?11)
[0104] 上述能量方程可以变形为：
[0105]
(12)
[0106] 显然，与之对应的线性方程组At=b为
[0107]
(13)
[0108] 其中L表示离散的拉普拉斯矩阵；N表示顶点的法向量矩阵，μ为原始顶点位置的 权重因子，为本发明默认值为0. 1，ΙηΧη为ηΧη的单位矩阵，s'为模型表面的新信号，V为 原始点集，V重构后的新的顶点集。从图2中本发明能看出EMD分解不仅能够很好的提取 模型不同尺度的几何信息，同时如果过滤掉高层次頂F信息时，还能起到平滑模型的作用。
[0109] 2、基于HKS(HeatKernelSignature)的描述子定义以及相似性面片选取
[0110] 通过上一步骤介绍的方法，得到模型不同尺度的几何细节信息以及信号余量，然 后对信号余量进行网格重建，得到一个光滑的模型，在此模型上进行孔洞的初始修补。此时 的模型是缺少几何细节信息的模型，需要恢复模型的细节信息，本发明采用相似性度量的 方法，定义面片描述子，然后查找与目标面片描述子最相似的源面片，并将其几何细节信息 迀移至目标面片上，从而实现几何细节的修复。
[0111] HKS通过描述模型表面的热量随着时间扩散变化，来反映网格顶点的内在特征，从 而可以用来作为顶点特征的描述子。在时刻t= 0,给定一个单位热源X，热核函数匕"，y) 表示时刻t，从点X传播到点y的总热量。若只考虑点X的领域，热核函数将会变形为 ht(x，x)。因此，不同时间时域内的热值可以提供一种有效的多尺度特征，可以用于模型匹 配。
[0112] 给定一个黎曼流形M，在时刻t某一点的热量为f(X，t)，则Μ上的热量扩散通过如 下热力学扩散方程控制：
[0113]
[0114] 其中Τ(χ)为定义在Μ上的初始温度，Δ为Laplace-Beltrami算子。当流形包含 边界时，对于边界上的点需要额外满足f(x，〇) = 0，xe5M。另外给定Μ后，存在如下等式：
[0115]
[0116] 其中Ητ为热力学算子，ht(x,y)可以看作时刻t时，从点X到y传递的热量。
[0117] 对热核进行特征分解，可以得出HKS:
[0118]
(16)
[0119] 其中λ仁和Ω;分别为Laplace-Beltrami算子对应的特征值和和特征函数，满足 等式：ΔΜΩι=λ"Ωι。从上面的式子容易看出，HKS反映了模型上某一顶点不同尺度的 几何特征，同时也反映了局部和全局的几何信息。
[0120] 本发明描述子的定义将HKS由基于点的描述子迀移到面片上，采用统计学的方法 定义面片的描述子：
[0121]
(17)
[0122] 其中[0, 1]表示归一化至区间[0, 1]。该描述子包含了面片上所有顶点的HKS平 均值以及方差，并且为了使描述子可以适用于不同的模型，选择了三个时域的描述子，也就 是说每个面片对应三个描述子，分别为：整个时域，3/4时域，1/2时域。本发明中在时域
P采样100个时间点作为一个点的HKS向量。
[0123] 根据定义的描述子，采用欧氏距离的标准，计算面片描述子之间的距离，对于每个 目标面片，选出k个距离最近、最相似的源面片，作为候选面片。本发明中k的默认值为顶 点总数的0. 1 %。
[0124] 从相似面片候选集中，需要选出最相似的面片进行细节迀移。定义面片之间的匹 配误差如下：
[0125]
^18>
[0126] 其中队为目标面片集合T中的面片数，S表示源面片集合，DO^S,)表示目标面 片！\和源面片1之间，通过刚性配准后的误差，SCTJ表示目标面片?\对应的相似源面片 候选集。需要指出的是在刚性配准过程中，是通过搜索顶点对应整个时域的HKS值中最相 近的点对作为配准时的匹配点对。
[0127] 通过上面对描述子定义和相似面片寻找过程的描述，可得到如图3所示的相似性 匹配结果。在图3中，只显示了面片的中心顶点，并且用左图中阴影部分对应目标孔洞区 域，右图中阴影部分为通过相似性匹配计算得到的对应的相似匹配区域。从图3中可以看 出，定义的描述子可以得到很好的相似性匹配结果。
[0128] 不同尺度层次的几何细节迀移以及模型多尺度编辑在寻找到相似源面片后，需要 将其几何细节信息迀移至目标面片。上中已经说明本发明的方法，不需要复制并粘贴源面 片的操作，而是借出于EMD分解算法进行细节迀移。在步骤（1)中，已经对模型做了EMD分 解，并得到了模型不同尺度下的几何信息（MFs)以及信号余量，因此，只需要将源面片的 頂Fs信息迀移至目标面片，然后根据迀移后形成的新的表面信号进行表面重建，从而实现 几何细节的迀移。同时，在頂Fs迀移的过程中，通过控制各个尺度頂F的权重，来实现多尺 度边界的效果。本发明将详细介绍如何实现几何细节的迀移以及多尺度编辑。
[0129] 从步骤（1)中EMD分解的式子，可以得到定义在目标面片上的EMD分解：
[0130]
19
[0131] 其中^表示定义在目标面片上的函数，即信号；T表示目标面片。根据步骤（2)得 到的相似性匹配结果，将源面片的MFs迀移至目标面片，那么将会得到定义在模型表面的 新的信号：
[0132]
(20)
[0133] 其中为形成的新的信号，fks为相似源面片的IMF信息，ωk为对应尺度信息的 权重。
[0134] 下面将要根据新的信号，采用步骤（1)节中介绍的方法，来重构网格模型。但是在 重