含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法与流程
本发明属于精密磨削技术领域，涉及含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法。
背景技术：
分数阶微分广泛应用在信号处理、图像处理、流体力学、粘弹性阻尼器等领域，在机械动力学系统中申永军引入了分数阶微分的概念，主要研究了引入分数阶微分项对duffing系统动力学特性的影响，由于分数阶微分能够表征对历史数据的全局依赖性，而且分数阶微分项在不同分数阶系数和分数阶阶次的影响下，能够通过等效线性阻尼和等效线性刚度分别影响系统的振幅和频率特性，相对于分数阶项的特点，与轧辊磨削相对比，轧辊磨削过程颤振公认的其中一种模型为时滞引起的再生颤振，由于时滞的影响，轧辊磨削过程历史数据全局依赖性大，更符合实际，用于颤振预测能够提高准确度，而且轧辊磨削需要对系统的振幅和频率进行调整抑制颤振，基于实际应用的角度，现阶段已经研究出了分数阶阻尼器，分数阶阻尼器在机械系统中的安装应用还不广泛，其可控的分数阶阶数和分数阶系数为控制系统参数扩展了思路，用以得到更好的磨削效果，提高磨削表面质量，对轧辊磨削颤振抑制方面提供理论基础和工程指导方面具有重大意义。
解析解的意义不如数值解大，但它为数值解的研究提供了理论基础，实际中数值解应用较为广泛，现有技术中还缺少分数阶项对机械系统尤其是高精度要求的磨削系统的分析，没有对分数阶项与时滞引起的再生颤振耦合进行分析的方法，轧辊磨削是典型的双圆磨削过程，在磨削领域研究进展较滞后，无法从解析或数值的角度对分数阶项和双圆磨削再生颤振影响分析，没有相关理论进行指导，缺乏分数阶阻尼器在轧辊磨削系统中的应用和优化基础，更无法进一步对含分数阶项的轧辊磨削系统参数优化设计。
技术实现要素：
为解决上述技术问题，本发明的目的是提供含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法，用于轧辊磨削系统参数的优化，并对实际加工过程提供理论指导。
含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法，包括如下步骤：
步骤1：构建轧辊磨床的砂轮和轧辊之间的加入分数阶项的磨削受力模型；
步骤2：根据磨削受力模型推导出磨削力的计算表达式，再建立含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型；
步骤3：根据含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型，建立不含分数阶项的模型，求解该模型稳定性，并绘制稳定性边界；
步骤4：按照含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型，依托经典四阶runge-kutta法，构造嵌套的迭代关系，基于matlab编制数值仿真程序，根据步骤3中解析解求得的稳定性边界进行验证；
步骤5：改变输入参数，进行对比研究，并根据研究结果分析含分数阶项的轧辊磨削系统的动力学响应特性，并研究各参数对含分数阶项的轧辊磨削系统的影响，用于优化轧辊磨床的设计参数以及分数阶微分的控制参数。
步骤1具体为：
简化轧辊磨削过程的物理模型，由于轧辊质量较大以及轧辊的两端通过辊颈和托瓦配合定位，根据轧辊磨削特点，简化不必要的细节，做出假设条件，得到磨削受力模型，该磨削受力模型以轧辊辊颈为基准，砂轮架的位移量作为振动自由端，含时滞磨削力作为激振力；
其中，假设条件1为：轧辊的轴线位移量为零；假设条件2为：轧辊不发生弹性变形。
步骤2包括：
步骤2.1：根据受力模型计算切削厚度的表达式，切削厚度计算方法为：
δr＝μ1x3(t-τr)-x3(t)(1)
δg＝x2(t-τg)-x2(t)(2)
其中，δr为轧辊的磨削厚度，μ1为磨削交叠系数，x3(t)为轧辊表面磨削厚度变化量，τr为轧辊表面造成再生效应的时滞量；δg为砂轮切削厚度，x2(t)为砂轮表面的厚度变化，τg为砂轮的时滞量；
步骤2.2：将磨削力与切削厚度关联，进而求取磨削力的计算表达式，根据弹性变形条件，恒定转速磨削条件下，磨削力的计算方法为：
pn＝k0pt(4)
其中，pt为磨削力的切向分量，uch为磨削比能，vr为轧辊表面线速度，b为砂轮宽度，vg为砂轮表面线速度；pn为磨削力的水平分量，k0为磨削力和正压力的转换系数；
步骤2.3：根据公式(3)(4)得到磨削力与再生扰动之间的表达式：
引入磨削系数g：
g＝轧辊磨损量体积/砂轮磨损量体积＝bδrvr/bδgvg(6)
x1(t)＝x2(t)+x3(t)(7)
得到砂轮切屑厚度δg＝vrδr/vgg，由于磨削系数一般取g＝1000，砂轮的线速度高于轧辊的线速度，得到砂轮的磨削磨损量x2(t)小于轧辊磨削磨损量x3(t)的千分之一，x1(t)代表砂轮架的位移量，据此得到磨削力与再生扰动之间的简化表达式：
步骤2.4：根据磨削力与再生扰动之间的简化表达式获得含分数阶的双圆磨削过程的再生颤振模型为：
其中，m代表砂轮架质量，c代表砂轮架阻尼，k代表砂轮架刚度，kdα[x1(t)]代表分数阶项，k为分数阶系数，α为分数阶阶数。
步骤3包括：
步骤3.1：建立不含分数阶项的模型，表达式如下：
根据此模型定义状态向量
步骤3.2：建立特征方程，通过mathmatica进行解析求解，根据特征方程的解，绘制稳定性边界。
步骤4包括：
步骤4.1：依托经典四阶runge-kutta法，构造嵌套的迭代关系，数值仿真迭代算法为：
其中，z为时滞项，代表了旋转一圈时间内位移量为零矩阵，之后时滞项按照x的规律运动，l,n,i,j分别代表迭代次数，dα为分数阶项的近似表达式，
步骤4.2：依据步骤3求得的稳定性边界，选取稳定性边界附近的三个点，分别为：位于稳定性边界临近点、位于稳定性边界内的点和位于稳定性边界外的点，k取值为0，步骤4.1退化为只含时滞项的数值解，其他参数不变，确定转速vg和砂轮宽度b的取值，代入步骤4.1进行数值求解；
步骤4.3：位于稳定性边界临近点表现出了临界稳定特性，位于稳定性边界内的点表现出了收敛稳定特性，位于稳定性边界外的点表现出了发散失稳特性，解析解和数值解互相验证了求解过程的正确性。
步骤5中，选取阶数为0时，由于分数阶项体现出很强的弹簧特性，分数阶系数的数量级和砂轮架刚度保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项系数的增大先减小再增大，证明了稳定性与分数阶项之间不存在线性相关关系，应分段考虑分数阶系数的选取。
步骤5中，选取阶数为0.25时，分数阶项兼具弹簧特性和阻尼特性，但更偏向于弹簧特性，分数阶系数的数量级与砂轮架刚度保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大先增大后减小，与阶数为零的时候正好相反，证明在此段内具有很强的非线性相关性。
步骤5中，选取阶数为0.75时，分数阶项兼具弹簧特性和阻尼特性，但更偏向于阻尼特性，分数阶系数的数量级与砂轮架阻尼保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大一直增加，只是变化的梯度较小，证明在此段内具有线性相关性。
步骤5中，选取阶数为1时，分数阶项表现出很强的阻尼特性，分数阶系数的数量级与砂轮架阻尼保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大一直增加，变化的梯度相对于阶数为0.75时明显增加，证明在此段内具有线性相关性。
本发明的含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法至少具有以下有益效果：
1、依据双圆磨削再生颤振数值分析方法，根据解析结果和数值模拟研究了变砂轮宽度对系统稳定性的影响、变砂轮转速对系统稳定性的影响，分别得出系统的稳定性边界，用于指导基本的数值参数选取，确保各项参数取值落在稳定性边界内；
2、通过模型能够深入浅出的表达各个参数在磨削系统中所起到的作用，便于深入理解含分数阶项的双圆磨削再生颤振机理，在加入分数阶项后的磨削系统中分别研究了不同分数阶阶数及对应的分数阶系数对系统响应及稳定性的影响，合理选取分数阶参数能够有效提高系统对再生颤振扰动的稳定性；
3、研究结果能够为分数阶阻尼器在轧辊磨削系统中的应用和优化提供基础，不是单纯将稳定性提的越高越好，在数值分析中我们可以看出，改变分数阶项的参数在一定范围内存在良性的减振效果，在其他范围内也存在恶性的破坏效果，分数阶项的参数不同，在分段区间上，既存在线性相关性，也存在非线性相关性，最终控制振动量在合理的范围内，又要避免出现冲击造成的二次破坏；
4、研究结果反过来可以用于轧辊磨削系统参数的优化，改进轧辊磨削系统中砂轮宽度、砂轮质量、砂轮架刚度、砂轮架阻尼参数，为轧辊磨床的设计理论提供参考，使其更适合含分数阶项的磨削系统，减少再生颤振扰动对系统的影响；
5、在不改变现有技术参数的前提下，根据解析表达式调整砂轮转速、轧辊转速以提高磨削系统的稳定性，能将一些控制参数的变化，对实际加工过程提供理论指导，避免过度依赖于操作经验，随着磨削进程和磨床型号、磨削响应的变化，故障操作经验的积累往往要付出沉重的代价，依据合理的理论，在发生失稳时更准确的调整可变技术参数。
附图说明
图1为本发明的含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法的流程图；
图2为本发明的物理模型简化示意图；
图3为本发明的受力模型示意图；
图4为砂轮转速稳定性边界图；
图5为砂轮宽度稳定性边界图；
图6为砂轮宽度稳定性边界临近点数值计算图；
图7为砂轮宽度稳定性边界外数值计算图；
图8为砂轮宽度稳定性边界内数值计算图；
图9为分数阶阶数取0数值分析图；
图10为分数阶阶数取0.25数值分析图；
图11为分数阶阶数取0.75数值分析图；
图12为分数阶阶数取1数值分析图。
具体实施方式
如图1所示，本发明的含分数阶项的双圆磨削再生颤振数值分析方法，包括如下步骤：
步骤1：为了重点描述磨削区域的受力和砂轮磨削厚度变化量、轧辊磨削厚度变化量，根据图2的物理模型简化示意图构建如图3所示的受力模型示意图，图中rg代表砂轮的半径，rr代表轧辊的半径，构建轧辊磨床的砂轮和轧辊之间的加入分数阶项的磨削受力模型，步骤1具体为：
简化轧辊磨削过程的物理模型，根据轧辊磨削特点，简化不必要的细节，做出假设条件，得到磨削受力模型，该磨削受力模型以轧辊辊颈为基准，砂轮架的位移量作为振动自由端，含时滞磨削力作为激振力，由于轧辊质量较大以及轧辊的两端通过辊颈和托瓦配合定位；其中，假设条件1为：轧辊的轴线位移量为零；假设条件2为：轧辊不发生弹性变形。
步骤2：根据磨削受力模型推导出磨削力的计算表达式，再建立含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型，步骤2包括：
步骤2.1：根据受力模型计算切削厚度的表达式，切削厚度计算方法为：
δr＝μ1x3(t-τr)-x3(t)(1)
δg＝x2(t-τg)-x2(t)(2)
其中，δr为轧辊的磨削厚度，μ1为磨削交叠系数，x3(t)为轧辊表面磨削厚度变化量，τr为轧辊表面造成再生效应的时滞量；δg为砂轮切削厚度，x2(t)为砂轮表面的厚度变化，τg为砂轮的时滞量；
步骤2.2：将磨削力与切削厚度关联，进而求取磨削力的计算表达式，根据弹性变形条件，恒定转速磨削条件下，磨削力的计算方法为：
pn＝k0pt(4)
其中，pt为磨削力的切向分量，uch为磨削比能，vr为轧辊表面线速度，b为砂轮宽度，vg为砂轮表面线速度；pn为磨削力的水平分量，k0为磨削力和正压力的转换系数；
步骤2.3：根据公式(3)(4)得到磨削力与再生扰动之间的简化表达式：
引入磨削系数g：
g＝轧辊磨损量体积/砂轮磨损量体积＝bδrvr/bδgvg(6)
x1(t)＝x2(t)+x3(t)(7)
得到砂轮切屑厚度δg＝vrδr/vgg，由于磨削系数一般取g＝1000，砂轮的线速度高于轧辊的线速度，分析可以得到，砂轮的磨削磨损量x2(t)小于轧辊磨削磨损量x3(t)的千分之一，x1(t)代表砂轮架的位移量，据此得到磨削力与再生扰动之间的简化表达式：
步骤2.4：根据磨削力与再生扰动之间的简化表达式获得含分数阶的双圆磨削过程的再生颤振模型为：
其中，m代表砂轮架质量，c代表砂轮架阻尼，k代表砂轮架刚度，kdα[x1(t)]代表分数阶项，k为分数阶系数，α为分数阶阶数。
步骤3：根据含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型，建立不含分数阶项的模型，求解该模型稳定性，并绘制稳定性边界，步骤3包括：
步骤3.1：建立不含分数阶项的模型，表达式如下：
根据此模型定义状态向量
步骤3.2：建立特征方程，通过mathmatica进行解析求解，根据特征方程的解，绘制稳定性边界。图4为根据步骤3方法绘制的砂轮转速稳定性边界图，横轴代表轧辊转速，单位为m/s，纵轴代表砂轮转速，单位为m/s，图5为根据步骤3方法绘制的砂轮宽度稳定性边界图，横轴代表轧辊转速，单位为m/s，纵轴代表砂轮宽度，单位为mm。
步骤4：按照含分数阶项的双时滞轧辊磨削模型，依托经典四阶runge-kutta法，构造嵌套的迭代关系，基于matlab编制数值仿真程序，根据步骤3中解析解求得的稳定性边界进行验证，步骤4包括：
步骤4.1：依托经典四阶runge-kutta法，构造嵌套的迭代关系，数值仿真迭代算法为：
其中，z为时滞项，代表了旋转一圈时间内位移量为零矩阵，之后时滞项按照x的规律运动，l,n,i,j分别代表迭代次数，dα为分数阶项的近似表达式，
步骤4.2：依据步骤3求得的稳定性边界，选取稳定性边界附近的三个点，分别为：位于稳定性边界临近点、位于稳定性边界内的点和位于稳定性边界外的点，k取值为0，步骤4.1退化为只含时滞项的数值解，其他参数不变，确定转速vg和砂轮宽度b的取值，代入步骤4.1进行数值求解；
步骤4.3：步骤4.2中的砂轮振动数值解以图像的形式输出，位于稳定性边界临近点振动特性如图6所示，位于稳定性边界临近点表现出了临界稳定特性，位于稳定性边界内的点振动特性如图8所示，位于稳定性边界内的点表现出了收敛稳定特性，位于稳定性边界外的点振动特性如图7所示，位于稳定性边界外的点表现出了发散失稳特性，解析解和数值解互相验证了求解过程的正确性。
步骤5：改变输入参数，进行对比研究，并根据研究结果分析含分数阶项的轧辊磨削系统的动力学响应特性，并研究各参数对含分数阶项的轧辊磨削系统的影响，用于优化轧辊磨床的设计参数以及分数阶微分的控制参数。
具体实施时，选取阶数为0时，由于分数阶项体现出很强的弹簧特性，分数阶系数的数量级和砂轮架刚度保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项系数的增大先减小再增大，证明了稳定性与分数阶项之间不存在线性相关关系，应分段考虑分数阶系数的选取。图9为分数阶阶数取0数值分析图。
具体实施时，选取阶数为0.25时，分数阶项兼具弹簧特性和阻尼特性，但更偏向于弹簧特性，分数阶系数的数量级与砂轮架刚度保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大先增大后减小，与阶数为零的时候正好相反，证明在此段内具有很强的非线性相关性。图10为分数阶阶数取0.25数值分析图。
具体实施时，选取阶数为0.75时，分数阶项兼具弹簧特性和阻尼特性，但更偏向于阻尼特性，分数阶系数的数量级与砂轮架阻尼保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大一直增加，只是变化的梯度较小，证明在此段内具有线性相关性。图11为分数阶阶数取0.75数值分析图；
具体实施时，选取阶数为1时，分数阶项表现出很强的阻尼特性，分数阶系数的数量级与砂轮架阻尼保持一致，在有效研究区间内，稳定性随着分数阶项的增大一直增加，变化的梯度相对于阶数为0.75时明显增加，证明在此段内具有线性相关性。图12为分数阶阶数取1数值分析图。
依据双圆磨削再生颤振数值分析方法，根据解析结果和数值模拟研究了变砂轮宽度对系统稳定性的影响、变砂轮转速对系统稳定性的影响，分别得出系统的稳定性边界，用于指导基本的数值参数选取，确保各项参数取值落在稳定性边界内；
在加入分数阶项后的磨削系统中分别研究了不同分数阶阶数及对应的分数阶系数对系统响应及稳定性的影响，通过模型能够深入浅出的表达各个参数在磨削系统中所起到的作用，便于深入理解含分数阶项的双圆磨削再生颤振机理；
研究结果能够为分数阶阻尼器在轧辊磨削系统中的应用和优化提供基础，不是单纯将稳定性提的越高越好，在数值分析中我们可以看出，改变分数阶项的参数在一定范围内存在良性的减振效果，在其他范围内也存在恶性的破坏效果，分数阶项的参数不同，在分段区间上，既存在线性相关性，也存在非线性相关性，最终控制振动量在合理的范围内，又要避免出现冲击造成的二次破坏；
研究结果反过来可以用于轧辊磨削系统参数的优化，改进轧辊磨削系统中砂轮宽度、砂轮质量、砂轮架刚度、砂轮架阻尼参数，为轧辊磨床的设计理论提供参考，使其更适合含分数阶项的磨削系统，减少再生颤振扰动对系统的影响；
在不改变现有技术参数的前提下，根据解析表达式调整砂轮转速、轧辊转速以提高磨削系统的稳定性，能将一些控制参数的变化，对实际加工过程提供理论指导，避免过度依赖于操作经验，随着磨削进程和磨床型号、磨削响应的变化，故障操作经验的积累往往要付出沉重的代价，依据合理的理论，在发生失稳时更准确的调整可变技术参数。
以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明的思想，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。
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