本发明属于机械系统动力学建模及振动控制领域，更具体地说是涉及一种精确获取变长度绳索设备横向振动的方法。
背景技术：
：轴向移动绳索设备具有运行高效、自适应强、承载力大、结构简单、灵活可控等优点，在众多工程领域上具有十分重要的应用价值，如绳系卫星缆绳、动力传送带、电梯缆绳、客货运索道等。噪声和振动伴随着这些设备的运转，尤其是横向振动对这些设备的功能和安全造成了很大的影响。轴向移动绳索设备的横向振动问题是一项被研究了很多年的具有挑战性的课题，至今仍广受关注。传统的研究技术是基于哈密顿原理建立的偏微分驱动方程以及基于拉格朗日方程建立的有限单元动力学方程，然后分别利用数值计算方法，如伽辽金法、龙格库塔法、纽马克法以及时变状态空间方程方法等求解以上方程，获得轴向移动绳索模型的横向振动响应。以上方法，当轴向移动绳索设备速度较高，接近或达到临界速度时，会使得设备振动幅值异常增大，导致误差增大。达朗贝尔原理指出无限长均匀弦线横向振动可以表示为两个沿相反方向行波的叠加，为利用波叠加理论获取移动绳索设备横向振动奠定了理论基础，其优点是振动响应不因移动速度的增大而失稳。但该原理侧重于解决行波在半无限长弦线的不同边界单次反射的振动及能量变化特性。在实际轴向移动绳索设备的工程应用中，不同方向的行波在有限长移动绳边界处会发生多次反射，并与入射波叠加构成移动绳的横向振动，显然，利用达朗贝尔原理的方法并未能解决有限长移动绳索设备中行波多次反射叠加形成的横向振动的准确获取问题。技术实现要素：本发明是为避免上述现有技术所存在的不足之处，提供一种精确获取变长度绳索设备横向振动的方法，以避免数值计算方法以及达朗贝尔原理方法的局限性，使其能适于变长度绳索设备多种典型的边界条件。本发明为解决技术问题采用如下技术方案：本发明精确获取变长度绳索设备横向振动的方法，所述轴向移动设备为轴向移动的绳索设备，所述绳索设备的运动工况为绳索长度呈线性变化，其特点是所述方法按如下过程进行：确定绳索设备的运动模型，获得所述绳索设备的运动方程；确定绳索设备的运动初始条件和边界条件；确定绳索设备的振动周期T；按照所述绳索设备中行波运动规律将所述振动周期T分为三个阶段：分别是[tn-1,tan]，[tan,tbn]和[tbn,tn]，其中tn-1<tan<tbn<tn；结合绳索设备中行波移动规律和边界条件分别获得三个阶段的绳索设备的边界入射波和边界反射波；将所述边界入射波和边界反射波进行叠加，分别获得所述绳索设备在三个阶段的横向位移。本发明精确获取变长度绳索设备横向振动的方法的特点是按如下步骤进行：步骤1：依据包括绳索设备的线密度、移动速度和张力在内的参数给定绳索设备的运动模型，针对所述运动模型根据哈密顿原理建立式(1)所示的绳索设备的运动方程：ωtt+2vωxt+(v2-c2)ωxx＝0(1)式(1)中：x为绳索设备的轴向坐标；t为时间；v为绳索设备的轴向移动速度；行波速度c为行波在绳索设备中的传播速度，c＝(P/ρ)0.5，P为绳索设备的张力；ρ为绳索设备的线密度；ω为绳索设备的横向振动位移，ω是x和t的函数，ω＝ω(x,t)；ωtt是ω对t的二阶偏导数；ωxx是ω对x的二阶偏导数；ωxt是ω分别对x和对t的一阶偏导数；将式(1)的解，即横向振动位移ω(x,t)视为右移行波和左移行波的叠加，如式(2)：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt)(2)式(2)中：vl为相对于固定坐标系的绳索设备中左移行波的速度，vl＝c–v；vr为相对于固定坐标系的绳索设备中右移行波的速度，vr＝c+v；F(x-vrt)为速度为vr的右移行波，记为F；G(x+vlt)为速度为vl的左移行波，记为G；F和G均为任意二次连续可微函数；步骤2：确定绳索设备的运动初始条件和边界条件：设定t＝0时的运动初始条件如式(3)：式(3)中：ωt为ω对t的一阶偏导数；函数为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始横向位移；函数ψ(x)为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始速度；l(t)为绳索设备在时刻t的长度；设置边界条件为式(4)所示的两端固定的形式：ω(0,t)=0ω(l(t),t)=0---(4)]]>步骤3：针对绳索设备的运动工况为绳索长度呈线性变化，有式(5)如下：l(t)＝l0+vt(5)式(5)中l0为绳索的初始长度；第n个周期的时长Tn为：Tn=2ln-1c-v,n=1,2,3,...---(6)]]>式(5)中，ln-1为第n-1个周期结束时的绳索长度；ln-1=l0+vΣi=1n-1Ti,n=2,3,...l0,n=1---(7)]]>利用式(5)和式(6)计算获得各振动周期的时长：T1，T2…Tn，n为自然数；步骤4：按照行波移动变化规律将振动周期分为三个阶段：定义tn为系统经过n次循环回到初始状态的时间，则有：Tn＝tn-tn-1(8)当v>0，绳索从左向右移动，即绳索伸长，则在周期Tn内的三个阶段分别是[tn-1,tan]，[tan,tbn]和[tbn,tn]，其中tn-1<tan<tbn<tn，如下：tan=ln-1c+tn-1tbn=ln-1c-v+tn-1tn=2ln-1c-v+tn-1,v>0,t0=0,n=1,2,3,...---(9)]]>当v<0，绳索从右向左移动，即绳索长度缩短，则在三个阶段中tan和tbn值相互交换；步骤5：结合运动初始条件和边界条件获取绳索设备在第一阶段[tn-1,tan]的横向振动位移：第一阶段中，左移行波G分为行波G1和行波G2，右移行波F分为行波F1和行波F2；其中，行波G2是行波F1在右边界x＝l(t)处的反射波，行波F2是行波G1在左边界x＝0的处的反射波；结合运动初始条件和式(2)分别得到行波F1和行波G1的表达式如式(10)和式(11)：其中，ξ为积分变量；K为积分常数；结合边界条件和式(2)得到行波F2、行波G2与行波F1、行波G1的关系如式(12)：F2(x)=-G1(-xvlvr)G2(x)=-F1(2ln-1-x)---(12)]]>由式(10)、式(11)和式(12)得到式(13)和式(14)：则，第一阶段[tn-1,tan]右移行波F和左移行波G分别如式(15)、式(16)所表征：F(x-vrt)=F1(x-vrt),vl(t-tn-1)≤x≤l(t)F2(x-vrt),0≤x≤vl(t-tn-1)---(15)]]>G(x+vlt)={G1(x+vlt),0≤x≤ln-1-vl(t-tn-1)G2(x+vlt),ln-1-vl(t-tn-1)≤x≤l(t)---(16)]]>利用式(17)获得第一阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tn-1≤t≤tan(17)步骤6：结合初始条件和边界条件获取移动绳索在第二阶段[tan,tbn]的横向振动位移：在第二阶段中，对于v>0，左移行波G分为行波G1、行波G2和行波G3，右移行波F即为行波F2；行波F2为入射波，G3是F2在右边界x＝l(t)处的反射波；由边界条件和式(2)得到G3和F2的关系如式(18)：G3(x)＝-F2(2ln-1-x)(18)结合式(13)和式(18)，获得行波G3(x+vlt)如式(19)：对于v<0，左移行波G即为行波G2，右移行波F分为行波F1、行波F2和行波F3；行波F3是行波G2在左边界x＝0处的反射波；利用边界条件和式(2)得到F3和G2的关系如式(20)：F3(x)=-G2(-vlvrx)---(20)]]>结合式(14)和式(20)，获得行波F3(x-vrt)如式(21)：则，第二阶段[tan,tbn]右移行波F和左移行波G分别如式(22)和式(23)：F(x-vrt)=F2(x-vrt),0≤x≤l(t),v>0F3(x-vrt),0≤x≤vr(t-tan),v<0F2(x-vrt),vr(t-tan)≤x≤vr(t-tn-1),v<0F1(x-vrt),vr(t-tn-1)≤x≤l(t),v<0---(22)]]>G(x+vlt)=G1(x+vlt),0≤x≤ln-1-vl(t-tn-1),v>0G2(x+vlt),ln-1-vl(t-tn-1)≤x≤l(t)-c(t-tan),v>0G3(x+vlt),l(t)-c(t-tan)≤x≤l(t),v>0G2(x+vlt),0≤x≤l(t),v<0---(23)]]>利用式(24)获得第二阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tan≤t≤tbn(24)步骤7：结合初始条件和边界条件获取移动绳索在第三阶段[tbn,tn]的横向振动位移：在第三阶段中，左移行波G分为行波G2和行波G3，右移行波F分为行波F2和行波F3，行波G3是行波F2在右边界x＝l(t)处的反射波，行波F3是行波G2在左边界x＝0处的反射波；右移行波F和左移行波G分别如式(25)和式(26)：F(x-vrt)={F2(x-vrt),l(t)-vr(t-tbn)≤x≤l(t)F3(x-vrt),0≤x≤l(t)-vr(t-tbn)---(25)]]>G(x+vlt)={G2(x+vlt),0≤x≤l(t)-c(t-tan)G3(x+vlt),l(t)-c(t-tan)≤x≤l(t)---(26)]]>利用式(27)获得第三阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)为：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tbn≤t≤tn(27)。与已有技术相比，本发明有益效果体现在：1、本发明方法过程简单，按照绳索设备中行波运动规律将振动周期分为三个阶段，每个阶段不同方向的行波会在两端的边界发生反射；然后结合绳索设备中行波移动规律和边界条件分别获得三个阶段绳索设备的边界入射波和边界反射波；最后将边界入射波和边界反射波进行叠加，分别获得所述绳索设备在三个阶段的横向位移，所得的绳索设备振动响应更加符合实际情况。2、本发明依据严格的数学表达，并考虑不同方向的行波的多次反射，确保了所获得的横向位移的精确性。3、本发明可以根据不同的边界对边界条件进行调整，适合多种典型的边界条件。附图说明图1中(a)为初始时刻绳索横向振动位移，(b)为初始左行波，(c)为初始右行波；图1中(b)和(c)的叠加为(a)；图2中(a)为第一阶段[0,ta]绳索横向振动位移；(b)为左行波G1在左边界x＝0处发生反射的状态，并得到右行波F2，(c)为右行波F1在右边界x＝l(t)处发生反射的状态，并得到左行波G2；图2中(b)和(c)的叠加为(a)；图3中(a)为绳索设备的轴向移动速度v>0时，第二阶段[ta,tb]绳索横向振动位移，(b)为左行波G1在左边界x＝0处发生反射并得到右行波F2，右行波F2在右边界x＝l(t)处发生反射并得到左行波G3的状态，(c)为第一阶段中的右行波F1在右边界x＝l(t)处全部发生发射后得到左行波G2的状态；图3中(b)和(c)的叠加为(a)；图4中(a)为绳索设备的轴向移动速度v<0时，第二阶段[ta,tb]绳索横向振动位移；(b)为第一阶段中的左行波G1在左边界x＝0处全部发生反射后得到右行波F2的状态，(c)为右行波F1在右边界x＝l(t)处发生反射并得到左行波G2，左行波G2在左边界x＝0处发生反射并得到右行波F3的状态；图4中(b)和(c)的叠加为(a)；图5中(a)为第三阶段[tb,T]绳索横向振动位移；(b)为第一阶段中的左行波G1在左边界x＝0处全部发生反射后得到右行波F2，右行波F2在右边界x＝l(t)处发生反射并得到左行波G3的状态，(c)为右行波F1在右边界x＝l(t)处全部发生反射后得到左行波G2，左行波G2在左边界x＝0处发生反射并得到右行波F3的状态；图5中(b)和(c)的叠加为(a)；具体实施方式本实施例精确获取变长度绳索设备横向振动的方法中，轴向移动设备为轴向移动的绳索设备，绳索设备的运动工况为绳索长度呈线性变化，本发明方法的特点是按如下过程进行：确定绳索设备的运动模型，获得绳索设备的运动方程；确定绳索设备的运动初始条件和边界条件；确定绳索设备的振动周期T；按照所述绳索设备中行波运动规律将所述振动周期T分为三个阶段：分别是[tn-1,tan]，[tan,tbn]和[tbn,tn]，其中tn-1<tan<tbn<tn；结合绳索设备中行波移动规律和边界条件分别获得三个阶段的绳索设备的边界入射波和边界反射波；将所述边界入射波和边界反射波进行叠加，分别获得所述绳索设备在三个阶段的横向位移。本实施例中精确获取变长度绳索设备横向振动的方法是按如下步骤进行：步骤1：依据包括绳索设备的线密度、移动速度和张力在内的参数给定绳索设备的运动模型，针对运动模型根据哈密顿原理建立式(1)所示的绳索设备的运动方程：ωtt+2vωxt+(v2-c2)ωxx＝0(1)式(1)中：x为绳索设备的轴向坐标；t为时间；v为绳索设备的轴向移动速度；行波速度c为行波在绳索设备中的传播速度，c＝(P/ρ)0.5，P为绳索设备的张力；ρ为绳索设备的线密度；ω为绳索设备的横向振动位移，ω是x和t的函数，ω＝ω(x,t)；ωtt是ω对t的二阶偏导数；ωxx是ω对x的二阶偏导数；ωxt是ω分别对x和对t的一阶偏导数；如图1中(a)、(b)和(c)所示，将式(1)的解，即横向振动位移ω(x,t)视为右移行波和左移行波的叠加，如式(2)：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt)(2)式(2)中：vl为相对于固定坐标系的绳索设备中左移行波的速度，vl＝c–v；vr为相对于固定坐标系的绳索设备中右移行波的速度，vr＝c+v；F(x-vrt)为速度为vr的右移行波，记为F；G(x+vlt)为速度为vl的左移行波，记为G；F和G均为任意二次连续可微函数；步骤2：确定绳索设备的运动初始条件和边界条件：设定t＝0时的运动初始条件如式(3)：式(3)中：ωt为ω对t的一阶偏导数；函数为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始横向位移；函数ψ(x)为固定坐标系中绳索设备上不同位置的初始速度；l(t)为绳索设备在时刻t的长度；设置边界条件为式(4)所示的两端固定的形式：ω(0,t)=0ω(l(t),t)=0---(4)]]>步骤3：针对绳索设备的运动工况为绳索长度呈线性变化，有式(5)如下：l(t)＝l0+vt(5)式(5)中l0为绳索的初始长度；第n个周期的时长Tn为：Tn=2ln-1c-v,n=1,2,3,...---(6)]]>式(5)中，ln-1为第n-1个周期结束时的绳索长度；ln-1=l0+vΣi=1n-1Ti,n=2,3,...l0,n=1---(7)]]>利用式(5)和式(6)计算获得各振动周期的时长：T1，T2…Tn，n为自然数；步骤4：按照行波移动变化规律将振动周期分为三个阶段：定义tn为系统经过n次循环回到初始状态的时间，则有：Tn＝tn-tn-1(8)当v>0，绳索从左向右移动，即绳索伸长，则在周期Tn内的三个阶段分别是[tn-1,tan]，[tan,tbn]和[tbn,tn]，其中tn-1<tan<tbn<tn，如下：tan=ln-1c+tn-1tbn=ln-1c-v+tn-1tn=2ln-1c-v+tn-1,v>0,t0=0,n=1,2,3,...---(9)]]>当v<0，绳索从右向左移动，即绳索长度缩短，则在三个阶段中tan和tbn值相互交换，如式(9-1)所示：tan=ln-1c-v+tn-1tbn=ln-1c+tn-1tn=2ln-1c-v+tn-1,v<0,t0=0,n=1,2,3,...---(9-1)]]>步骤5：结合运动初始条件和边界条件获取绳索设备在第一阶段[tn-1,tan]的横向振动位移：第一阶段中，如图2中(a)、(b)和(c)所示，左移行波G分为行波G1和行波G2，右移行波F分为行波F1和行波F2；其中，行波G2是行波F1在右边界x＝l(t)处的反射波，如图2中(c)所示；行波F2是行波G1在左边界x＝0的处的反射波，如图2中(b)所示；结合运动初始条件和式(2)分别得到行波F1和行波G1的表达式如式(10)和式(11)：其中，ξ为积分变量；K为积分常数；结合边界条件和式(2)得到行波F2、行波G2与行波F1、行波G1的关系如式(12)：F2(x)=-G1(-xvlvr)G2(x)=-F1(2ln-1-x)---(12)]]>由式(10)、式(11)和式(12)得到式(13)和式(14)：则，第一阶段[tn-1,tan]右移行波F和左移行波G分别如式(15)、式(16)所表征：F(x-vrt)=F1(x-vrt),vl(t-tn-1)≤x≤l(t)F2(x-vrt),0≤x≤vl(t-tn-1)---(15)]]>G(x+vlt)={G1(x+vlt),0≤x≤ln-1-vl(t-tn-1)G2(x+vlt),ln-1-vl(t-tn-1)≤x≤l(t)---(16)]]>利用式(17)获得第一阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tn-1≤t≤tan(17)步骤6：结合初始条件和边界条件获取移动绳索在第二阶段[tan,tbn]的横向振动位移，这个阶段的行波运动状态与绳索设备移动方向有关，因此分v>0和v<0两种情况进行讨论：在第二阶段中，对于v>0，如图3中(a)、(b)和(c)所示，左移行波G分为行波G1、行波G2和行波G3，右移行波F即为行波F2；行波F2为入射波，G3是F2在右边界x＝l(t)处的反射波，如图3中(b)所示；由边界条件和式(2)得到G3和F2的关系如式(18)：G3(x)＝-F2(2ln-1-x)(18)结合式(13)和式(18)，获得行波G3(x+vlt)如式(19)：对于v<0，如图4中(a)、(b)和(c)所示，左移行波G即为行波G2，右移行波F分为行波F1、行波F2和行波F3；行波F3是行波G2在左边界x＝0处的反射波，如图4中(c)所示；利用边界条件和式(2)得到F3和G2的关系如式(20)：F3(x)=-G2(-vlvrx)---(20)]]>结合式(14)和式(20)，获得行波F3(x-vrt)如式(21)：则，第二阶段[tan,tbn]右移行波F和左移行波G分别如式(22)和式(23)：F(x-vrt)=F2(x-vrt),0≤x≤l(t),v>0F3(x-vrt),0≤x≤vr(t-tan),v<0F2(x-vrt),vr(t-tan)≤x≤vr(t-tn-1),v<0F1(x-vrt),vr(t-tn-1)≤x≤l(t),v<0---(22)]]>G(x+vlt)=G1(x+vlt),0≤x≤ln-1-vl(t-tn-1),v>0G2(x+vlt),ln-1-vl(t-tn-1)≤x≤l(t)-c(t-tan),v>0G3(x+vlt),l(t)-c(t-tan)≤x≤l(t),v>0G2(x+vlt),0≤x≤l(t)v<0,---(23)]]>利用式(24)获得第二阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tan≤t≤tbn(24)步骤7：结合初始条件和边界条件获取移动绳索在第三阶段[tbn,tn]的横向振动位移，这个阶段的行波运动状态与绳索设备移动方向无关，但是对于不同的移动方向，第二个阶段过渡到第三个阶段时，行波运动状态的变化过程是不同的，当v>0时，如图3中(b)、(c)与图5中(b)、(c)一一对比；当v<0时，如图4中(b)、(c)与图5中的(b)、(c)一一对比：在第三阶段中，如图5中(a)、(b)和(c)所示，左移行波G分为行波G2和行波G3，右移行波F分为行波F2和行波F3，行波G3是行波F2在右边界x＝l(t)处的反射波，如图5中(c)所示；行波F3是行波G2在左边界x＝0处的反射波，如图5中(b)所示；右移行波F和左移行波G分别如式(25)和式(26)：F(x-vrt)={F2(x-vrt),l(t)-vr(t-tbn)≤x≤l(t)F3(x-vrt),0≤x≤l(t)-vr(t-tbn)---(25)]]>G(x+vlt)={G2(x+vlt),0≤x≤l(t)-c(t-tan)G3(x+vlt),l(t)-c(t-tan)≤x≤l(t)---(26)]]>利用式(27)获得第三阶段移动绳索的横向振动位移ω(x,t)为：ω(x,t)＝F(x-vrt)+G(x+vlt),0≤x≤l(t)、tbn≤t≤tn(27)。本发明方法过程简单，获得的绳索设备振动响应更加符合实际情况，避免了数值计算方法以及达朗贝尔原理方法的局限性，适于变长度绳索设备多种典型边界条件。当前第1页1 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