据半径436与表面-电解质界面处的金属离子浓度（440)的函数而变化。类似 地，阴极球形材料432具有金属离子浓度442,其中，金属离子浓度442被示出为与球体的 半径444相关。金属离子的浓度446根据半径444与表面-电解质界面处的金属离子浓度 (448)的函数而变化。
[0039] 金属离子电池400的全阶电化学模型是降阶电化学模型的基础。全阶电化学模 型通过电极厚度（406&410)来分解金属离子浓度，并假设金属离子浓度在所有的其它坐标 中都是均匀的。该模型准确捕捉关键的电化学动态特性。所述模型通过四个偏微分方程 描述了电极和电解质中的离子质量传递和电位变化，其中，所述四个偏微分方程通过巴特 勒-沃尔默（Butler-Volmer)电流密度方程非线性地耦合。
[0040] 模型方程包括针对电子导电固相的欧姆定律，其中，针对电子导电固相的欧姆定 律通过式（2)来表示，
[0041]
[0042] 针对离子导电液相的欧姆定律由式（3)来表示，
[0043]
[0044] 菲克扩散定律（Fick'slawofdiffusion)由式（4)来表示，
[0045]
[0046] 电解质中的物料平衡（materialbalance)由式（5)来表示，
[0047]
[0048]Butler-Volmer电流密度由式（6)来表示，
[0049]
[0050] 其中，Φ是电位，c是金属离子浓度，下标s和e分别表示电极活性固体颗粒和电 解质，是电极的有效电导率，κ是电解质的有效电导率，4是液体接界电位项，匕是 金属离子在电极中的扩散系数，是金属离子在电解质中的有效扩散系数，t°是转移数， F是法拉第常数，<^是针对阳极反应的转移系数，α。是针对阴极反应的转移系数，R是气 体常数，Τ是温度，τι= 是活性固体颗粒的固体-电解质界面处的过电位，
[0051] 通过将动态响应与相同测试条件下的测试数据进行比较来评估和验证快速动态 响应和慢速动态响应，例如，使用全阶电池模型计算十秒放电脉冲下的动态响应来研究电 池动态响应。
[0052] 动态响应的分析包括扩散过电位差和电解质的电位差。图5是过电位相对于坐标 轴上的距离（在此示例中为球形电池模型的半径）的变化的图示。这里，集流体之间的过 电位差500被表不为ηρ|χ=ι~ηη|χ=。。X轴表不电极厚度502，y轴表不过电位504。在正 极集流体处，当施加10秒电流脉冲时，观测到瞬时电压降。在0秒506处，电压受欧姆项 508的影响。随着时间的增加，如在5秒510处所示，电压还受极化项512的影响，其中，电 压受欧姆项和极化项两者的影响，直至电压影响达到稳定状态（如在时间100秒514处所 示）为止。当施加输入电流时，在正极集流体处的电压降略微改变。两个主导的时间尺度 (瞬时和中速-慢速）在过电位差响应中被观测。
[0053] 图6是电解质电位（电势）相对于坐标轴上的距离（在此示例中为球形电池模型 的半径）的变化的图示。在图6中示出了被表示为Φ丄4-Φ丄=。的集流体之间的电解 质电位差600。X轴表示电极厚度602,y轴表示电位604。在0秒606处存在瞬时电压降。 所述瞬时电压降主要由电解质的电导率608支配。如5秒610处所示，最初电压降之后的电 压变化由穿过电极的金属离子传输612支配。稳态电位在100秒614处被示出。电化学动 态特性（诸如，局部开路电位、过电位和电解质电位）包括瞬时-快速动态特性和慢速-中 速动态特性两者。
[0054] 利用现代微处理器和微控制器，在实时控制系统中使用全阶动态特性在计算上是 困难的且是昂贵的。为了降低复杂性并保证准确度，降阶电化学电池模型应在整个模型降 阶过程中保持与物理信息相关的数据。用于电动车辆中的电池控制的降阶模型应在宽范围 的电池操作中有效，以保证操作准确度。模型结构可被操作为状态空间形式以进行控制设 计实施。虽然已经进行了大量研究来开发降阶电化学电池模型，但是先前还没有实现可用 在车辆控制系统中的准确的模型。例如，由于假设金属离子浓度沿着电极厚度是均匀的，因 此单颗粒模型通常仅在低电流操作状况下才有效。（依赖于模型坐标变换来预测端电压响 应的）其它方法缺乏电化学过程的物理相关信息。
[0055] 公开一种新的方法来克服先前方法的上述限制。这种新公开的模型降阶过程被设 计为：（1)捕捉电化学过程的宽时间尺度响应；(2)保持物理相关的状态变量；(3)以状态 空间形式来表示。
[0056] 降阶过程从电池单元中的电化学动态响应的分类开始。电化学动态特性被划分为 "欧姆"或瞬时动态特性（506和606)与"极化"或慢速-中速动态特性（510和610)。电 池端电压可由式（7)来表示，
[0057] V=Φs |x = L-Φs |x = 〇 (7)
[0058] 每个电极处的过电位可由式（8)来表示，
[0059] ηι=φθχ) (8)
[0060] 其中，UJΘi)是第i个电极的开路电位，所述开路电位为归一化金属离子浓度的 函数。通过式（7)和（8)，所述端电压可由式（9)来表示，
[0061]
[0062] 式（9)中的电池端电压包括集流体之间的开路电位差（可被表示为（Up(θρ)|χ= d(θη)Iχ =。)）、集流体之间的过电位差（可被表示为（ηρIχ=「ηηIχ =。)）以及集流体之 间的电解质电位差（可被表示为（Φ丄Φ丄= D))。
[0063] 所述端电压可被降阶为式（10)，
[0064]
[0065] 图7示出了在集流体处的活性固体颗粒的表面电位的图示。X轴表示归一化金属 离子浓度702,y轴表不电位704。阳极的表面电位706可被表不为Un(θn)|χ=。，阴极的表 面电位708可被表不为Up(θρ)|χ=ρX轴表不归一化的金属离子浓度702,y轴表不以伏 特为单位的表面电位704。表面电位差710可被表示为υρ(θρ)|χ=?-υη(θη)|x=。，其中，各 个电极中的归一化金属离子浓度分别被表示为& =4/%_和^ 。作为示 例，在点712处示出了当电池荷电状态为100%时阳极的归一化金属离子浓度，在点714处 示出了当电池荷电状态为0%时阳极的归一化金属离子浓度，并且716示出了此刻的操作 点。类似地，作为示例，在点720处示出了当电池荷电状态为100%时阴极的归一化金属离 子浓度，在点718处示出了当电池荷电状态为0 %时阴极的归一化金属离子浓度，并且722 示出了此刻的操作点。观察阳极的浓度（706)和阴极的浓度（708)的变化，随着SOC增加， 此刻的阳极操作点716从左运动到右，此刻的阴极操作点722从右运动到左。由于包括化 学组成和成分的诸多因素，使得阴极的当前操作点722可被表示为归一化的阳极浓度的当 前操作点716和电池S0C的函数。类似地，阳极的当前操作点716可被表示为归一化的阴 极浓度的当前操作点722和电池S0C的函数。
[0066] 归一化的金属离子浓度Θ主要由穿过电极的扩散动态特性和慢速动态特性来支 配。将式（10)中的Αη和Δ 分解为"欧姆"项和"极化"项由式（11)和（12)来表示，
[0067] δη= δnohm+Anpolar(n)
[0068]
[0069]"欧姆"项包括瞬时和快速动态特性，"极化"项包括中速-慢速动态特性。然后式 (10)的端由压可祯耒沄为忒in).
[0070]
[0071] 式（13)表示没有损失任何频率响应分量的电池端电压响应。式（13)的前四个分 量与包括扩散和极化的慢速-中速动态特性相关。慢速-中速动态特性被表示为"扩充扩 散项（augmenteddiffusionterm)"。式（13)的最后两个分量表示瞬时和快速动态特性。 所述瞬时和快速动态特性被表示为"欧姆项"。
[0072] 扩充扩散项可使用扩散方程来建模以保持物理相关的状态变量。
[0073]
[0074] 其中，cf是考虑了所有的慢速-中速动态特性项的有效金属离子浓度，是考 虑了所有的慢速-中速动态特性项的有效扩散系数。针对式（14)的边界条件被确定为
[0075]
[0076]
[0077] 其中，A是电极表面面积，δ是电极厚度，Rs是活性固体颗粒半径，％ -j-'其中， -5 ε3是电极的孔隙率。欧姆项被建模为：
[0078]
[0079] 其中，i?f是考虑了所有的瞬时和快速动态特性项的有效欧姆电阻，I是电池电 流。通过针对电池电流I推导偏微分方程（13)来获得/ζ/;，被表示为：
[0080]
[0081] 有效欧姆电阻可基于式（17)来建模，或者可由测试数据确定。
[0082] 然后端电压可被表示为
[0083]
[0084] 其中，阴极的固体-电解质界面处的归一化金属离子浓度是錢g ，阳 极的固体-电解质界面处的归一化金属离子浓度是=<1/心"胃，cs，p，_是正电极处的 最大金属离子浓度，cSini_是负电极处的最大金属离子浓度，C〗f是固体-电解质界面处的 有效金属离子浓度。
[0085] 式（18)可被表示为三个模型参数（阳极有效扩散系数(D；^)、阴极有效扩散 系数(A^)、阳极和阴极两者的有效内电阻?)):和一个状态向量（有效金属离子浓度 (<M)。状态向量有效金属离子浓度(cf)包括：阳极状态向量有效金属离子浓度(??)，可 由阳极有效扩散系数(i^i)支配；阴极状态向量有效金属离子浓度(C^)，可由基于式（14) 的应用的阴极有效扩散系数支配。上述参数可被表示为（但不限于）温度、S0C、电 池寿命、电池健康状况和施加的充电周期数的函数。参数,if)可通过建模、实 验、校