准或其它手段来确定。与具有相同水平的预测准确度的ECM相比，模型校准过程的复 杂性降低了。图3是用于对电池单元的电学特性进行建模的可行的ECM。添加到ECM的RC 元件越多，需要的模型参数和状态变量越多。例如，具有三个RC元件的ECM需要七个模型 参数。
[0086] 回顾图7,在阳极的固体-电解质界面处的归一化金属离子浓度Θ^可被表示为 在阴极的固体-电解质界面处的归一化金属离子浓度Θ%p和电池荷电状态S0CavJ^函数。 在扩充扩散动态特性的示例中，随着集流体处的阴极的金属离子浓度沿着归一化金属离子 浓度线708 (例如，从0.7至0.8)增大，集流体处的阳极的金属离子浓度将沿着归一化金属 离子浓度线706相应地减小。阳极的相应减小将是阴极的增大的函数，但是阳极的相应减 小可能不等于阴极的增加量。这种函数关系允许一个电极（即，代表性电极）的状态或操 作提供用于确定另一个电极的状态或操作的信息。阳极的开路电压的变化（AUn) 726对应 于在表面-电解质界面处的归一化金属离子浓度的变化（Δθ%η)724。
[0087] 如果阳极的金属离子浓度由9sen=f(0sep，S0Cave)来表示以将阴极处的金属离 子动态特性与阳极处的金属离子动态特性相关，则阳极的动态响应可通过阴极的动态响应 来计算。然后端电压可被表示为
[0088]
[0089] 计算存储在电池中的能量（例如，电池S0C、功率容量等）可能需要计算沿着电极 中的代表性固体颗粒的半径方向的金属离子浓度。这可由下式来说明：
[0090] .一 … 厂一 …
厂―
[0091] 其中，针对各个电极：
卜又重^二 (SOCaTC)m，其中，m可以是用于调谐响应的指数，权重w2= 1-W 1<3
[0092] Θse=Θ〇% +S0Cse (Θ画-Θ〇%) (21)
[0093] 通过组合式（20)和（21)，推导出式（19)。
[0094] 图8是电池荷电状态（S0C)804相对于时间802的图示。该图示示出了平均电池 荷电状态806、在阴极的固体-电解质界面处的电池荷电状态808和在阳极的固体-电解质 界面处的电池荷电状态810。从一个电极（例如，阴极）处的模型计算出的电化学动态特性 814允许基于式（19)、（20)和（21)预测另一个电极的电化学动态特性812。
[0095] 通过使用式（19)、（20)和（21)，电极之间不同的电化学动态特性被捕捉，并且这 种不同产生了沿着线A-A' 816的ASOC^j。换句话说，通过所提出的方法来捕捉电极之间 的动态特性差异以及由此产生的电池荷电状态的差异（AS0Csein) 818。负电极处的归一化 锂离子浓度的差异可通过AS0Cse，n818计算得出，并且该差异产生726处的AUn。这样，式 (19)中的端电压被计算出。
[0096] 上述模型降阶过程实现了模型大小的显著减小，但是模型大小可能没有紧凑到足 以在电池管理系统中实现。通过使用非均匀离散来减小离散化的数量，可进行进一步的模 型降阶。非均匀离散的目标是实现紧凑的模型结构，并保证模型准确度。这样，非均匀离散 可生成更紧凑的电池模型形式并降低所需的处理器带宽。其它的模型降阶方法也能捕捉类 似的电池动态特性。但是，所述非均匀离散可以保持用于表示金属离子扩散动态特性的有 意义的物理状态。
[0097] 图9示出了两种不同的离散方法：非均匀离散900和均匀离散902。y轴示出了金 属离子浓度904或906,X轴示出了活性材料固体颗粒半径。由于金属离子浓度随着所述半 径的增大而改变并为了满足准确度要求，均匀分布的离散方法的使用可能需要在如902所 示的多个离散半径908处进行多个计算。这增加了计算需求并且可能是性价比低的。一种 解决方案会是使用如900所示的非均匀步阶。这里，步阶的数量以及步阶之间的距离可通 过校准、建模或者使用半径的数学函数来确定。在900中示出了示例并通过910示出了所 述步阶。
[0098]通过针对空间变量r使用有限差分法，式（14)被表示为一组常微分方程（0DE)，以 便被用作面向电池控制的模型。使用非均匀离散推导出的状态空间方程是
[0099]
[0100]
[0101]
[0102] 其中，％ 。离散点或步阶的数量被确定以获得足够的电池动态特性 Δ/Α-1 +Ark 预测准确度。当在电动车辆应用中捕捉激进的电池操作时，所述数量可降至五。
[0103] 通过使用式（22)、（22a)和（22b)求解式（18)可能需要大量的计算能力。如上所 述，可通过使用非均匀离散来降低计算要求。为了进一步提高这种降阶模型的准确度，可使 用插值。这包括但不限于线性插值、多项式插值、样条插值或其它形式的插值。
[0104] 图10是金属离子（在此示出为锂离子）浓度1002相对于如通过采样步阶的非均 匀离散1006所确定的归一化半径1004的图示。原始曲线1010提供足够的准确度并能够 减少计算，以使其可在电流控制系统中被实现。在此示例中，非均匀分布的离散点1006被 示出，并且各个点1010之间的线性连接允许沿着半径准确表示所述浓度，然而，为了提高 准确度，如1012所示，可对所述点进行插值。
[0105] 对曲线进行插值（1012)的使用在仅有少量的计算量增大的情况下提高准确度， 并因此也可在电流控制系统中被实现。在非均匀离散降阶模型中估计的S0C与真实值之间 的偏差是由于连续锂离子分布信息的缺失所导致的，所缺失的信息可通过插值被恢复。这 样，S0C估计的准确度可被恢复为接近于真实值。
[0106] 用于计算平均锂离子浓度的等式的示例是：
[0107]
[0108] 但是也可使用其它表达式，其中，^是在以内插值替换的锂离子分布曲线中的第 i个点的半径。这种以内插值替换的浓度分布可被用于使用锂离子浓度cSil来估计电池荷 电状态（S0C)，其中，锂离子浓度cSil是基于使用非均匀离散模型估计的锂离子浓度的内插 值。使用下式来表示电池S0C:
[0109]
[0110] 其中9。％是当电池S0C为0%时的归一化金属离子浓度，Θ1Μ%是当 电池S0C为100%时的归一化金属离子浓度，CS1_是最大金属离子浓度。该方法可提供比 先前的解决方案（例如，电流积分、使用预先校准的映射的基于端电压的S0C估计、基于等 效电路电池模型的S0C等）更高的准确度。
[0111] 通过提出的锂离子分布插值法，可显著提高电池S0C估计的准确度。图11示出了 利用插值的电池S0C估计1108与具有最大电池S0C误差1110的没有利用插值的电池S0C 估计1106之间的比较。在非均匀离散降阶模型中估计的S0C与真实值之间的偏差是由于 连续锂离子分布信息的缺失所导致的，所缺失的信息可通过插值被恢复。这样，S0C估计的 准确度可被恢复为接近于真实值。插值的使用产生了利用插值的电池S0C误差1108,并且 利用插值的最大电池S0C误差为1112。
[0112] 通过使用在真实行驶情况下的车辆测试数据来验证提出的模型结构。电池电流 分布（未示出）和电池端电压分布（未示出）被用于产生图12。图12是在真实行驶情况 下确定的端电压预测误差1204相对于时间1202的图示，其中，真实行驶情况由电荷耗尽 (chargedepleting，⑶）行驶和电荷保持（chargesustaining，CS)行驶组成。这些数据 基于降阶电化学电池模型1206和等效电路模型（ECM) 1208。在⑶至CS的转变期间，基于ECM1208的预测示出了由于ECM的能力有限所造成的较高的预测误差。具体来讲，在1210 处标识的误差主要是由于ECM不能捕捉慢速动态响应所造成的。换句话说，ECM可能不能 利用有限数量的RC电路来覆盖宽范围的频率。在CD至CS的转变期间的复杂的动态特性 可能不能被适当地捕捉并可能导致如图12所示的转变期间的较大偏差。相比之下，不管行 驶模式和模式变化如何，在整个行驶期间降阶电化学模型中的端电压预测误差均小于+1 % 且大于-1 %。
[0113] 模型参数Df和的结构可被视为温度的函数。依赖于温度的扩散系数和依赖于 温度的欧姆电阻使计算的准确度提高。电导率是温度的强函数，诸如电荷转移动态特性和 扩散动态特性的其它动态特性也受温度的影响，并可被表示为依赖于温度的参数和变量。 作为温度的函数的有效欧姆电阻的表达式可被示出为多项式表达式：
[0114]
[0115]
[0116] 其中，4是多项式的系数。模型结构不限于多项式形式，并且可使用其它的回归模 型。通过将i?f乘以修正系数k2，式（25)和（26)可被修改以补偿模型的不确定性，表示如 下：
[0117]
[0118] 有效扩散系数以阿伦尼乌斯（Arrhenius)表达式的形式被建模。
[0119]
[0120] 其中，bQ、bJPb2是通过在不同温度下确定的有效扩散系数而确定的模型参数。通 过糌Sf乘以修正系数h，式（28)可被修改以补偿模型的不确定性，表示如下：
[0121]
[0122] 可使用其它的模型结构，但是所提出的模型结构能在宽的温度范围内实现对电池 动态响应的准确预测。
[0123] 系统的输出y可以是端电压并可被表示为：
[0124]
[0125] 其中，可通过式（18)在操作点处的线性化推导出H。可通过下式推导出输出矩阵 Η：
[0126]
[0127] 可基于针对图7描述的Up和U"相对于有效锂离子浓度csrff的公式来确定Η矩阵 表达式。为了确定电池功率极限，可能会关注代表性电极的锂离子浓度分布。所述锂离子 浓度分布可描述电池单元的状态。电池单元的状态可确定预定时间段（例如，1秒、10秒或