本发明属于欠驱动非线性系统自动控制技术领域，特别是涉及一种基于微分平坦特性的四旋翼飞行器路径最短及时间最优的避障轨迹规划方法。
背景技术：
在过去的十年里，空中机器人领域发展迅猛，已经取得了极大进展。无人机最早诞生于20世纪初，起初只用于训练靶机，而随着相关技术的飞速发展，现已从军事领域扩展至农业，商业等民用领域。飞行器的种类也不断更新精进，在原有固定翼、扑翼和旋翼类型上甚至开发出了更复杂的飞行器[1][2]。现有类型中，旋翼飞行器具备了固定翼飞行器无法实现的垂直起降能力，可以在有限的空间内起飞与着陆，比扑翼更容易建模，不受材料限制[3]且通常能够更好地携带机载传感器，具有极高的机动性和灵活性，在可达性，可操作性，机载传感器能力和适用范围方面都更胜一筹，这使得规划[4]，感知[5]和编队控制[6]算法的发展成为可能。目前已经广泛应用于航拍监测，农业喷洒农药等行业[7]。2017年上半年，无人机公司的风险投资为2.16亿美元[8]，涵盖了基础设施检查、快速包装运送、精准农业和灾难监测应对等方方面面。而在idc的最新报告中显示，2018年无人飞行器全球的总支出为90亿美元，至2021年的复合年增长率超过机器人行业平均水准的29.8％。
对于四旋翼无人飞行器的轨迹规划问题一直是国内外相关研究机构的热点，近十年内已取得了众多令人振奋的成果。目前常见的轨迹规划方法主要有可达性算法[9]，渐进增量式技术[10]，或基于lqr树的搜索算法[11]，但这些广泛用于移动机器人的轨迹规划策略，对于具有6个自由度的四旋翼飞行器系统是不适用的。[12]中提出了一种基于clothoid曲线的无人机复合路径规划算法，平滑地连接了路径的圆弧段和直线段，但该复合路径的生成过程复杂且灵活性较差。[13]中提出了一种基于b样条曲线的路径规划算法，但由于生成的曲线的曲率没有确定的有理表达式，使轨迹上的每一点不易满足无人机的最大曲率约束。chanseddinea用bezier曲线为飞行器规划出平滑的曲线，该方法的优点是可以规划出沿飞行器当前速度方向的平滑轨迹，但由于曲线特性限制，难以对曲线进行进一步的优化[14]。[15]利用微分平坦解决四旋翼飞行器的轨迹规划，但其提出的走廊约束对真实环境并不适用，且预设中间点的选择仅仅依靠人为随机设定，并不合理。因此，现有四旋翼轨迹规划方法存在不足，对轨迹的安全性和连续性均提出了挑战。
技术实现要素：
本发明的目的是解决现有四旋翼飞行器系统轨迹规划方面存在的上述不足，提供了基于微分平坦的路径最短及时间分配最优的四旋翼飞行器运动轨迹规划方法。
本发明通过对四旋翼飞行器进行运动学及动力学建模，分析了四旋翼飞行器的微分平坦特性，对四旋翼飞行器的平坦输出进行规划，提出了“曲线隧道”的概念，考虑了飞行器的速度与加速度约束，得到路径最短及时间最优两种情况下的轨迹，此外，本发明还对中间点的时间分配进行了优化，得到了时间分配最优下的四旋翼飞行轨迹。仿真与实验结果表明，本发明的方法简单实用，能实现预设点间的平稳顺利飞行，提升了系统的安全性与连续性，具有良好的实际应用意义。
本发明提供的基于微分平坦的路径最短及时间分配最优的四旋翼无人飞行器运动规划方法，包括：
第1、四旋翼建模及微分平坦特性
根据牛顿第二定律和动量矩定理，可得到如下四旋翼的模型：
其中g是重力加速度，m是质量，fz是旋翼给的总推力，e3＝[0,0,1]t，即fze3与机体坐标系的-zb方向一致，r是从世界坐标系到机体坐标系的旋转矩阵；ωb＝[p,q,r]t是机体坐标系下四旋翼的角速度，ω是ωb的张量形式，即ωb对应的反对称矩阵，m＝[mtφ,mtθ,mtψ]t是机体坐标系下四旋翼在滚转、俯仰和偏航方向上的力矩，j是四旋翼的惯性矩阵，h＝[x,y,z]t是四旋翼在世界坐标系下的位置。其中
四旋翼的输入是所有推力和三个力矩u＝[fz,mtφ,mtθ,mtψ]t。系统的状态有12维：
拥有四个输入的四旋翼系统是微分平坦的，即系统状态和输入可以写成关于四个平坦输出及其导数的函数；令平坦输出为位置和偏航角：z＝[x,y,z,ψ]t。则系统的状态可由平坦输出及其导数表示：
其中，
同时，系统的输出也可由平坦输出及其导数表示：
也就是说，四旋翼无人机系统是一个微分平坦系统，即其状态量和输入量均可以由其输出量及其导数表示。
第2、构造四旋翼轨迹规划问题
轨迹生成问题可以表述如下:找到一个轨迹χdes(t)，将四旋翼飞行器从它的当前状态χ0带到期望的目标状态χ1。这个问题主要存在三大挑战。首先，轨迹必须是动态可行的，即方程必须有解；其次，必须满足电机和执行机构的约束条件，包括最大与最小推力，最大角速度约束等；最后，轨迹必须是安全的，不能导致与环境中障碍物的碰撞。
传统的a*搜索或d*搜索和基于采样的快速搜索随机树通常对四旋翼飞行器适用性不佳，而基于优化的方法已经被证明非常适合处理复杂的非线性约束和高维状态空间问题。轨迹生成问题可以作为一个最优控制问题[16]:
xfes表示四旋翼无人飞行器不与环境中障碍物产生碰撞或不超过角速度最大值的可行状态空间，ufes表示可行的推力输入空间。轨迹的结束时刻为t，t可以是固定的，也可以是可变的。上述方程不是直接可解的，本发明将进一步介绍对上述方程的近似化，抽象化和参数化，以计算解决方案。
鉴于前述第1步的四旋翼系统具有微分平坦特性，本发明直接对四旋翼系统的平坦输出进行了规划，将最优控制问题转化为非线性规划问题。具体来说就是把优化参数转化为以时间t为变量的基函数的组合形式，并对整条轨迹进行了分段处理：
其中n表示多项式的最高阶次，m表示分段数，pi表示多项式基函数集，c表示基函数对应的系数，t0,t1,...,tm是中间预设点的对应时刻。通过对目标函数的定义，我们可以获得满足约束条件下的路径最短及时间最优轨迹。
第3、曲线隧道约束
为获得满足条件的轨迹，加入了如下预设点约束：
cj表示基函数前的所有待优化系数ci,m-1的集合，dj是初始时刻和末时刻对应的位置；aj则为从cj到dj的映射；在每一段轨迹的端点上施加了多项式优化的约束，等式约束使得端点被固定在空间中的已知位置，甚至是以指定速度，加速度经过该位置；考虑到飞行器的电机的实际性能，对沿轨迹的每一点上的速度及加速度都设置了约束，保证速度和加速度都在一定范围内，这项约束可通过不等式表达；
其中，vmax和amax表示最大速度和加速度，vmin和amin表示最小速度和加速度。同时为保证在预设点处的连续性及可微性，还加入了如下约束：
atm,jcj＝a0,j+1cj+1,j＝1,...,s.(25)
此外，还提出了“曲线隧道”约束的概念，相较于走廊约束[15]，更契合真实的环境，且对于复杂环境下的无人机轨迹规划问题具有重要意义：具体表达为：
r1(θ)≤p(θ)≤r2(θ)θ1≤θ≤θ2(28)
其中θ表示从世界坐标系x轴到轨迹点与坐标原点间连线的偏角，r1和r2表示圆弧；
第4、给定中间点的时间分配优化
前述轨迹中间点对应的时刻，通常是随机给定的，但在实际操作过程中，我们很难人为地定义好每一个预设点的经过时间，有时人为强制定义甚至会导致优化问题无可行解。因此，对中间点的时间分配进行优化则具有了重要的意义。
对给定时间点进行时间分配优化，本发明将经过中间点的时刻值连同多项式系数一起设置为待优化参数，因此约束条件和目标函数中的中间时刻值也均成为了待求量，对经过预设的中间点的时间进行优化。对于该非线性规划问题，通过将中间点的时间设置为优化参数，用sqp序列二次规划方法进行求解，来得到给定中间点的时间分配最优解，同时考虑系统状态量和控制输入约束，得到时间最优的飞行器平移运动轨迹。
本发明方法的理论依据及推导过程
第1、四旋翼建模及微分平坦特性
首先对本发明建模所用的坐标系进行定义，主要包括世界坐标系fw和机体坐标系fb，如附图1所示，机体坐标系原点o取在四旋翼的重心上，坐标系与无人机机身固连。四旋翼飞行所需升力是由其四个旋翼电机的转速来调节的。如图所示，每两个相对的螺旋桨形成一对，位于x轴上的两个顺时针旋转，另一对相反。地面坐标系则是为了确定四旋翼的空间位置坐标，是参考坐标系。
我们使用欧拉角定义滚转角
其中，c表示余弦运算，s表示正弦运算。为方便建立四旋翼飞行器动力学模型，同时不失一般性，我们假设：
1.飞行器是刚体，在飞行过程中质量保持不变。
2.飞行器的重力加速度不随高度变化而变化。
3.不计地球自转及公转影响。
已知机体坐标系下的速度和角的变化率为：
其中下标b即表示机体坐标系，[u,v,w]t和[p,q,r]t分别表示机体坐标系下的线速度和角速度。由动量定理，可得关于无人机质心的动力学方程：
其中h＝[x,y,z]t是四旋翼在世界坐标系下的位置，f＝[fx,fy,fz]t是机体坐标系下的惯性力，m表示四旋翼的质量。由克里奥法则，可将上式改写为：
作用于四旋翼机体的力主要包括螺旋桨推力，拉力和重力：
f＝ft+fgb(5)
作用在四旋翼上的重力即四旋翼的质量乘以重力加速度，其方向与世界坐标系z轴方向相反，通过旋转矩阵将重力作用转换到机体坐标系下：
ft表示机体坐标系下每个坐标轴方向上推力的合力，f1，f2，f3，f4分别表示每个螺旋桨产生的推力：
由动量矩定理得：
其中，h是四旋翼角动量，i是四旋翼的惯性力矩，我们可推导得到：
上面的mtφ,mtθ,mtψ分别是滚转，俯仰和偏航方向上的力矩：
l是四旋翼质心到每一个转子的距离，d是一个计算因子。机体坐标系下的四旋翼速度可以通过旋转矩阵转化为世界坐标系下的速度：
同理得角速度转化公式：
整个系统有12维状态：
其中，主要包含了四旋翼飞行器的平移位置，平移线速度，旋转姿态和旋转角速度。而系统输入为u＝[fz,mtφ,mtθ,mtψ]t与四个电机pwm输入[u1,u2,u3,u4]t的关系为：
综上，可得四旋翼的模型：
其中g是重力加速度，m是质量，fz是旋翼给的总推力，e3＝[0,0,1]t，即fze3与机体坐标系的-zb方向一致，ωb＝[p,q,r]t是机体坐标系下四旋翼的角速度，ω是ωb的张量形式，即ωb对应的反对称矩阵，m＝[mtφ,mtθ,mtψ]t是机体坐标系下四旋翼的力矩，j是四旋翼的惯性矩阵，h＝[x,y,z]t是四旋翼在世界坐标系下的位置。其中
令平坦输出为位置和偏航角：z＝[x,y,z,ψ]t，为了用平坦输出表示系统的状态和输入，我们引入了中间坐标系fc，相对于世界坐标系只绕z轴旋转了偏航角ψ，所以fc的xc＝[cosψ,sinψ,0]t，由式(3)可得
r＝[xb,yb,zb].(17)
可由(1)和(17)可反解出滚转角
其中，
同时，系统的输出也可由平坦输出及其导数表示：
也就是说，四旋翼无人机系统是一个微分平坦系统，即其状态量和输入量均可以由其输出量及其导数表示。
第2、构造四旋翼轨迹规划问题
在无人飞行器执行任务过程中，我们要求飞行器顺利飞抵目标点，这可以视作一个运动规划问题。运动规划问题从根本上说是一个最优控制问题，众所周知，这样一个问题的解析解是非常难求的。
轨迹生成问题可以表述如下:找到一个轨迹χdes(t)，将四旋翼飞行器从它的当前状态χ0带到期望的目标状态χ1。这个问题主要存在三大挑战。首先，轨迹必须是动态可行的，即方程必须有解；其次，必须满足电机和执行机构的约束条件，例如最大与最小推力，最大角速度约束等；最后，轨迹必须是安全的，不能导致与环境中障碍物的碰撞。轨迹生成问题可以作为一个最优控制问题[16]:
f(χ(t),u(t))可由式(17)(18)得到。xfes表示四旋翼无人飞行器不与环境中障碍物产生碰撞或不超过角速度最大值的可行状态空间，ufes表示可行的推力输入空间。轨迹的结束时刻为t，t可以是固定的，也可以是可变的。上述方程不是直接可解的，本发明将进一步介绍对上述方程的近似化，抽象化和参数化，以计算解决方案。
鉴于前述的四旋翼系统具有微分平坦特性，本发明直接对四旋翼系统的平坦输出进行了规划，将最优控制问题转化为非线性规划问题。其基本思想是把动态等式约束尽可能精确地转化为一组静态等式约束。常见方法是参数化优化变量和离散化优化时间域，具体说就是把优化参数化为以时间t为变量的基函数，比如简单多项式。拉格朗日插值多项式的组合形式。具体来说就是把优化参数转化为以时间t为变量的基函数的组合形式，并对整条轨迹进行了分段处理。
其中n表示多项式的最高阶次，m表示分段数，pi表示多项式基函数集，ci表示基函数对应的系数，t0,t1,...,ts是中间预设点的对应时刻。通过对目标函数的定义，我们可以获得满足约束条件下的路径最短及时间最优轨迹。
通常参数化多项式的次数越高，选择的基函数越合适，优化结果越精确，但占用的计算时间就越长。优化精度和计算时间的折中取决于微分方程的具体形式。一旦把动态优化问题转化为代数方程形式，我们就可以利用常规的数值优化技术，如线性规划，二次规划和非线性规划等快速求解得到数值解。
设计参考航迹的方法有很多种，本文采用的是多项式函数，主要是出于以下几个原因选择该方法：
1.在初始点和结束点条件下，多项式的相关系数很容易通过计算获得；
2.一般情况下，函数包含的多项式项数越多，我们得到的解决方案越精确，即最接近最优解。
3.速度和加速度可以通过参考函数获取，其余的状态变量，控制输入等可以由系统原动力学方程的逆动力学模型确定。
综上，参考轨迹可表示为：
对于优化问题，还需要考虑目标函数的确定。本发明根据任务要求，设计了路径最短和中间点时间分配最优两种目标函数。
目标函数的前两项表示对平坦输出中的位置和偏航角求高阶导数，以达到使得轨迹光滑的目的。第三项表示对每一时刻速度的绝对值进行积分。令ε3＝0，即将第三项路径最短的函数项取零，再将中间点时刻设为待优化参数，通过在约束项里加入一系列相关约束，就可得到中间点时间分配最优下的解，具体讲在第四部分展开解释。
第3、曲线隧道约束
首先对于整个优化问题，本发明加入了预设点约束，也就是说存在起始点与目标点之间存在一系列轨迹需要经过的中间点。中间点可以设为分段多项式的各段端点。
cj表示基函数前的所有待优化系数ci,m-1的集合，dj是初始时刻和末时刻对应的位置，速度，及加速度。aj则为从cj到dj的映射。如有需要，也可以引入初末时刻的速度，加速度。
为保证分段多项式连续，以及速度，加速度曲线的连续，我们引入了连续性约束：
atm,jcj＝a0,j+1cj+1,j＝1,...,s.(25)
展开即为：
除了上述等式约束，还需根据四旋翼飞行器的实际性能，加入最大速度和加速度约束，避免电机的损耗。此时的约束则是面向整段轨迹，而不是仅限于两个端点：
其中，此外，本发明在现有走廊约束的基础上，提出了“曲线隧道”的概念。考虑到真实障碍物环境中，可行进的空间往往是非直线的，因而直线型的走廊约束并不具有普适性，若将可行进的弯曲空间表达为无数的小直线走廊，又增加了约束量，从而大幅度增加了计算难度。所以，本发明提出了“曲线隧道”障碍物表示方法，用弧线来表示在多障碍物环境下四旋翼的可行进空间，具体表达为：
r1(θ)≤p(θ)≤r2(θ)θ1≤θ≤θ2(28)
其中θ表示从世界坐标系x轴到轨迹点与坐标原点间连线的偏角，r1,r2表示半径不同的圆弧。
第4、给定中间点的时间分配
前述轨迹中间点对应的时刻，通常是随机给定的，但在实际操作过程中，我们很难人为地定义好每一个预设点的经过时间，有时人为强制定义甚至会导致优化问题无可行解。因此，对中间点的时间分配进行优化则具有了重要的意义。
本发明将经过中间点的时刻值连同多项式系数一起设置为待优化参数，因此约束条件和目标函数中的中间时刻值也均成为了待求量。对于该非线性规划问题，通过sqp序列二次规划方法进行求解，同时考虑系统状态量和控制输入约束，得到时间最优的飞行器平移运动轨迹。
本发明的优点和有益效果
本发明提出了一种四旋翼飞行器系统轨迹规划方法。首先通过拉格朗日方程建立了完整的四旋翼系统动力学与运动学模型，通过推导证明了其独特的微分平坦特性，即可以用其平坦输出的导数来表示系统输出与状态量。基于四旋翼系统的微分平坦特性，本发明对平坦输出进行规划，选用了以时间t为变量的多项式。同时考虑了始末时刻及预设中间点时刻的位置约束，整段轨迹上的速度加速度阈值约束，以及契合实际复杂障碍物环境的“曲线隧道”约束，构造了最优运动规划问题，并将其转化为非线性规划问题，利用序列二次规划方法进行了求解得到期望轨迹。仿真与实验结果表明，本发明设计简单，能够实现四旋翼飞行器路径最短轨迹规划及中间点时间分配最优。
附图说明：
图1四旋翼飞行器坐标系建立。
图2基于路径最短与曲线走廊约束的轨迹俯视图。
图3基于路径最短的x/y/z方向轨迹图。
图4基于路径最短的x/y/z方向上速度曲线图。
图5基于路径最短的x/y/z方向上加速度曲线图。
图6基于中间点优化的x/y/z方向轨迹图。
图7基于中间点优化的x/y/z方向上速度曲线图。
图8基于中间点优化的x/y/z方向上加速度曲线图。
图9仿真与实验平台通信示意图。
图10实验轨迹与期望轨迹。
具体实施方式：
实施例1：
第1、四旋翼建模
根据牛顿第二定律和动量矩定理可以得出四旋翼的模型，并引入了微分平坦的概念对其进行推导，以减轻后续规划的计算压力：
根据微分平坦的思路，可知只需对四旋翼系统的平坦输出z＝[x,y,z,ψ]t进行规划即可通过微分平坦性质，将系统状态量和输入量表达为平坦输出的形式。
这里选择的系统参数如下：
m＝0.055kg,j＝diag([0.005,0.005,0.013])kg·m2,g＝9.8m/s2
第2、构造四旋翼飞行器系统轨迹规划问题
考虑系统输入量及状态的约束，针对路径最短目标，构造如下最优运动规划问题：
其中，四旋翼初始与目标位置设定为：
x0＝-1,y0＝-1,z0＝0.3,ψ0＝0,t0＝0；
x1＝-0.8,y1＝0.5,z1＝0.5,ψ1＝0,t1＝5；
x2＝0.7,y2＝0.6,z2＝0.5,ψ2＝0,t2＝10；
xs＝0.9,ys＝-0.8,zs＝0.7,ψs＝0,ts＝18；
速度和加速度的上下界选择如下：
vxmin＝vymin＝vzmin＝1.5m/s,
vxmax＝vymax＝vzmax＝-0.5m/s,
axmin＝aymin＝azmin＝1m/s2,
axmax＝aymax＝azmax＝-1.5m/s2.
第3、曲线隧道约束及给定中间点的时间分配
为了更加契合实际的复杂环境，本发明提出了“曲线隧道”约束，用以坐标原点为圆心的两段弧线来表示曲线隧道，曲线隧道只在x-y平面上作约束，z轴上并无额外约束。
r1(θ)≤p(θ)≤r2(θ)θ1≤θ≤θ2(28)
参数选择为：
当考虑中间点时间分配最优时，将t1,t2同多项式系数一起视作待求参数进行优化计算，也就是说待求变量相较于之前增加了2个。在matlab优化工具箱中选用序列二次规划算法即可求得满足约束和目标函数最小的期望轨迹。
第4、仿真实验效果描述
为验证本发明所提出轨迹规划算法的性能，首先在matlab中用优化工具箱中的fmincon函数进行计算，经过迭代计算，求得决策变量，即基函数对应的系数，进而可得到在曲线隧道约束条件下的路径最短轨迹俯视图，如图2所示。规划所得的路径可以在不与曲线隧道碰撞的前提下，平滑地穿过隧道约束。对于前述约束，可得前向、侧向和竖直方向的轨迹分别如图3所示，其中菱形方块表示预设点的位置，轨迹可以在预设时刻经过预设点，并保证了当前段与上一段之间的连续与平滑。其对应的速度及加速度曲线分别如图4、5所示。从图中可以看出轨迹满足设定的最大最小速度及加速度约束，其速度及加速度是连续的。对于中间点优化的结果，如图6-8所示，其中t1＝7.211s,t2＝11.2703s。
在实际实验前，本发明在gazebo可视化界面和地面站监测系统里进行了仿真。整个仿真与实验平台通信结构框图如图9所示，用户终端只负责数据的采集和可视化输出。地面自动控制系统作为ros系统的主机，运行路径规划和运动捕捉系统两个节点。主要负责无人机的在线自动控制。获取由运动捕捉系统计算出的飞机的实时位姿,将生成的轨迹发送至无人机控制器。地面站监测系统地面站可以直接对无人机进行人工操作(起飞、降落、悬停、开始轨迹跟踪等指令)。用rosbag函数将四旋翼飞行器在实验中的实际轨迹保存，并通过matlab进行导入解析，可得实际实验中的轨迹与期望轨迹图像如图10所示，其中虚线为期望轨迹，实线为实际轨迹，可以看出误差在可容忍范围内，实验表明，本发明提出的方法在四旋翼轨迹规划方面具有良好的效果。
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