；
[0085] 步骤三、基于动态面设计自适应模糊滑模控制器；
[0086] 步骤四、基于自适应模糊滑模控制器控制微陀螺仪。
[0087]如图1所示，一般微陀螺仪由以下几部分组成:一个质量块，沿着X，Y轴方向的支撑 弹簧，静电驱动装置和感应装置，其中静电驱动装置驱动质量块沿驱动轴方向振动，感应装 置可以检测出检测轴方向上质块的位移和速度。
[0088] 则，步骤一中建立的微陀螺仪的数学模型为：
[0089]
[0090] 其中，X、y分别代表微陀螺仪在X、Υ轴方向上的位移，dxx、dyy分别为X、Υ轴方向弹簧 的弹性系数，k xx、kyy分别为X、Y轴方向的阻尼系数，dxy、kxy是由于加工误差等引起的耦合参 数，m为陀螺仪质量块的质量，Ω ζ为质量块自转的角速度，Ux、uy分别是X、Y轴的输入控制力， 形如f的参数表示r的一阶导数，形如f的参数表示r的二阶导数。
[0091] 由于等式中除了数值量还有单位量，增加了控制器的设计的复杂度。陀螺仪模型 中质量块的振动频率达到KHz数量级，而同时质量块自转的角速度却只有几度一小时数量 级，数量级差别很大这会给仿真带来不便。为了解决不同单位量和数量级差别大的问题，可 以对等式进行无量纲处理。
[0092] 等式两边同时除以m，并且使得
，则无量纲化模型为：
[0093]
[0094] 将模型改写成向量形式：
[0095]
(3)
[0096] 其中，U为动态面控制律，
[0097] 考虑系统参数不确定和外界干扰，模型可以写成：
[0098]
[0099]其中Λ D，ΔΚ是参数扰动，d是外界干扰；
[0100] 将其写成状态方程形式为：
[0101]
[0102] 其中，qi = q，f2 =4 ;
[0103] 为了便于计算将定义q = XI，# = ? .，XI、X2为输入变量；
[0104] 则状态方程变为如下式子：
[0105]
[0106] 其中f为陀螺仪的动态特性与外界干扰之和，且：
[0107] f = _(D+α〇+2Ω )x2-(K+AK)xi+d〇
[0108] 优选，步骤二中引入模糊原理，用/来逼近f，假设征为用于逼近非线性函数f的模 糊系统的输出，采用单值模糊化，乘机推理机中心平均反模糊化，具体包括如下步骤：
[0109] 假设模糊系统由N条模糊规则构成，第i条模糊规则R1的表达形式为：
[oho] i?;: If Is /4 and *·% xn is /4? then m is ^(/ = 1,2,.,,.,,N).
[0111] 其中，Xj( j = l ,2,.......,n)为输入变量，/4为Xj( j = l ,2,.......,n)的隶属度 函数，即为，"丨(Λ',-);
[0112] 则模糊系统的输出征为：
[0113]
[0114] 其中ξΑ为模糊基向量，
，
为自适应向量，
的转置；
[0115] 在陀螺仪系统中，针对f的模糊逼近，采用分别逼近fx和fy的形式，fx，f y分别为陀 螺仪x、y轴的动态特性和外界干扰之和，相应的模糊系统设计为：
[0116]
[0117]定义模糊函数为如下形式：
[0118]
[0119]其中，
的转置；
[0120]定义最优逼近常量Θ*:
[0121]
[0122] 式中，〇￡是|的集合，arg为复数的辐角运算函数，sup为上确界运算函数，沒是夕 的转置；
[0123] 定义：
[0124] 贝 1J:
[0125]
[0126]
[0127] ε是模糊系统的逼近误差，对于给定的任意常量ε(ε>0)，如下不等式成立：
，并且使彳I
，其中η为大于零的常数。
[0128]优选，步骤三具体包括如下步骤：
[0129] 定义位置误差
[0130] zi = xi-xid (12)
[0131] 其中XLd为指令信号，则
[0132]
[0133] 定义Lyapunov函数为
，.其中
为ζι的转置，贝lj
[0134]
[0135] 为保证
，引入％为乂2的虚拟控制量，定义
[0136]
[0137] C1为大于0的常数；
[0138] 为了克服微分爆炸的现象，引入了低通滤波器：
[0139] 取〇1为低通滤波器
关于输入为ζ时的输出，
[0140] 并满足：
[0141] 其中τ为滤波器的时间常数，为大于〇的常数为低通滤波器的输出，αι(0)、瓦（0) 分别为〇1与巧的初始值：
[0142]由（16)可得：
[0143]
[0144] 所产生的滤波误差为
[0145]
[0146] 虚拟控制误差：
[0147] Ζ2 = Χ2~αι (19)
[0148] 贝 IJ:
[0149]
[0150] 为了补偿由于模糊逻辑控制器引入所带来的误差，引入滑模项对此误差进行补 偿，其中滑模面定义为：
[0151] s = Z2 (21)
[0152] 定义第二个Lyapunov函数为：
[0153]
[0154] 其中
为Z2的转置。
[0155] 为了保证
），控制器的动态面控制律设计 为：
[0156] '
[0157] 11与(：2为大于零的常数；
[0158] 此时我们用模糊函数输出/去逼近陀螺仪的动态特性f，则更新的控制律为：
[0159]
[0160] 具体原理如图2所示。
[0161]系统的稳定性证明如下：
[0162] 考虑到位置跟踪误差、虚拟控制误差和虑波误差以及模糊系统的参数误差，定义 Lyapunov函数为：
[0163]
[0164] 式中，z 1为跟踪误差及其相关函数，z 2是虚拟控制量误差，y 2是滤波误差，
是模糊系统参数误差，γ为大于〇的常数。
[0165] 定义
，则
[0166]
[0167] 定理:取￥3的初值Va(〇Hp，p>0，V的初值
[，1>0,则闭环系统所有信号收 敛，有界。
[0168] iVa = p，我们可以得到
。
[0169] Lyapunov函数的导数为：
[0170](27)
/[0171] 其中，
（28)
t τ X[0174] 将等式(28)、（29)和等式(30)带入到等式(27)中，则等式(27)变为：
[0172]
[0173]
[0175]
[0176] 其中，
[0177] 将等式(24)带入到等式(31)中可得：
[0178] 1 ,,. i
[0179] 其中
具体为：
[0180]
[0181] 上式说明B2为21，22,72和％的函数，则82有界，记为12，则
。
[0182] 选$
。
[0183] 上面式子(32)可以写为：
[0184]
[0185] 当
，上式(34)可以重写为：
[0186]
[0187] 当
时，自适应律为：
[0188]
[0189] 由此可得：
[0190]
[0191] 因为0:，这可以保证Z1，Z2，y2与⑤都是有界的从上式我们可得：
[0192]
[0193] 变为：
[0194]
[0195] 因为V(0)与V(t)递减并且有界的，可得
1也为有界的。Va(t) 是一致连续的，根据Barbalat定理，可得
_。则可知21，22,72和_随着
都趋
近于0。
[0196] 下面进行Matlab仿真实验。
[0197] 结合微陀螺传感器的动态模型和基于反演