基于观测器的四旋翼无人机容错控制方法与流程

技术特征：

1.一种基于观测器的四旋翼无人机容错控制方法，其特征是，步骤如下：首先定义惯性坐标系{I}、机体坐标系{B}和目标坐标系{B_d}，通过分析执行器对四旋翼无人机的作用原理，用未知对角矩阵表示执行器故障对其动力学特性的影响，得到四旋翼无人机执行器发生故障时的非线性动力学模型：

$J\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}=-S\left(\mathrm{\ω}\right)J\mathrm{\ω}+LF\mathrm{\λ}---\left(1\right)$

式(1)中各变量定义如下：ω＝[ω₁ ω₂ ω₃]^T∈R^3×1表示机体坐标系{B}相对于惯性坐标系{I}的姿态角速度，ω₁,ω₂,ω₃分别表示滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度，[·]^T表示矩阵的转置，∈表示集合间的“属于”关系，R^3×1表示3行1列的实数向量，表示求取ω的一阶时间导数，下同；J∈R^3×3为转动惯量，S(ω)表示求取ω对应的反对称矩阵，L∈R^3×4为与机身长度和反扭矩系数相关的常系数矩阵，F＝diag{[f₁ f₂ f₃ f₄]^T}∈R^4×4表示升力矩阵，f₁,f₂,f₃,f₄分别表示四个电机产生的升力，diag{[f₁ f₂ f₃ f₄]^T}表示向量[f₁ f₂ f₃f₄]张成的对角矩阵，λ＝[λ₁ λ₂ λ₃ λ₄]^T∈R^4×1表示故障向量，λ_i＝1，i＝1,2,3,4表示第i个通道执行器正常，λ_i≠1，i＝1,2,3,4表示第i个通道执行器发生故障，假设执行器故障为常增益型故障，因此故障向量λ满足：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\λ}}={\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^T---\left(2\right)$

为避免姿态表示奇异性问题，采用基于单位四元数的姿态表示方法，机体坐标系{B}在惯性坐标系{I}下的表达用“等效轴角坐标系”方法，将{B}和{I}重合，将{B}绕矢量k∈R^3×1按右手定则旋转角，得到当前姿态单位四元数其中且满足k∈R^3×1为定义在坐标系{I}中的任意单位矢量，为坐标系{B}绕矢量k旋转的任意角度；由机体坐标系{B}到惯性坐标系{I}的坐标变换矩阵用四元数表示为I₃为3×3的单位矩阵，下同，S(q_v)表示求取q_v对应的反对称矩阵，同理，目标坐标系{B_d}在惯性坐标系{I}下的表达也可以用“等效轴角坐标系”方法，将{B_d}和{I}重合，将{B_d}绕矢量k_d∈R^3×1按右手定则旋转角，得到目标姿态单位四元数其中且满足k_d∈R^3×1为定义在坐标系{I}中的任意单位矢量，为坐标系{B_d}绕矢量k_d旋转的任意角度；由目标坐标系{B_d}到惯性坐标系{I}的坐标变换矩阵用四元数表示为S(q_vd)表示求取q_vd对应的反对称矩阵，为了描述四旋翼无人机当前姿态与目标姿态之间的差异，定义姿态误差四元数

$\left\{\begin{array}{c}{e}_0=q_0{q}_{0d}+q_v^T{q}_{vd}\\ e_v=q_{0d}{q}_v-q_0{q}_{vd}+S\left(q_v\right)q_{vd}\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中e₀和e_v同样满足由目标坐标系{B_d}到机体坐标系{B}的坐标变换矩阵示为S(e_v)表示求取e_v对应的反对称矩阵；

为了对四旋翼无人机执行器故障进行更有针对性的容错控制，采用基于浸入-不变集方法的观测器技术对执行器进行观测，定义观测器为：

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}=-\left(\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂\mathrm{\ω}}\right(-J^{-1}S\left(\mathrm{\ω}\right)J\mathrm{\ω}+J^{-1}LF\widehat{\mathrm{\λ}})+\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂\widehat{\mathrm{\ω}}}\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}+\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂X}\stackrel{\·}{X})---\left(4\right)$

其中ξ∈R⁴为观测器状态，表示求取ξ的一阶时间导数，为待求函数，为方便表示，用X代替ω_d,e_q，表示求取对ω的偏导数，表示求取对的偏导数，表示求取对X的偏导数，J^-1表示J的逆矩阵，表示求取的一阶时间导数，表示求取X的一阶时间导数，表示对λ的估计向量，表示对ω的估计值，且满足：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\ω}}}=-J^{-1}S\left(\mathrm{\ω}\right)J\mathrm{\ω}+J^{-1}LF\widehat{\mathrm{\λ}}+K(\mathrm{\ω},r,\widehat{\mathrm{\ω}}-\mathrm{\ω})(\widehat{\mathrm{\ω}}-\mathrm{\ω})---\left(5\right)$

其中为正增益函数，定义故障观测误差为z∈R⁴：

$z=\frac{\widehat{\mathrm{\λ}}-\mathrm{\λ}}{r}=\frac{\mathrm{\ξ}+\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)-\mathrm{\λ}}{r}---\left(6\right)$

其中r∈R为动态增益，对z求一阶时间导数，得

$\stackrel{\·}{z}=-\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂\mathrm{\ω}}{J}^{-1}LFz-\frac{\stackrel{\·}{r}}{r}z---\left(7\right)$

假设存在正常数γ和连续可微矩阵：利用分别表示的列向量，使得：

$-\frac{1}{2}{({\[B(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)J^{-1}LF\]}^T+B(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}\left(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\right)\left)J^{-1}LF\right)}_{=}=-\mathrm{\γ}{\[J^{-1}LF\]}^T\[J^{-1}LF\];$

定义其中W₁,W₂,W₃分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{W}_1={\∫}_0^{{\mathrm{\ω}}_1}{B}_1(\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X,{\mathrm{\β}}_1(\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X\left)\right)d\mathrm{\σ}\\ W_2={\∫}_0^{{\mathrm{\ω}}_2}{B}_2({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X,{\mathrm{\β}}_2({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X\left)\right)d\mathrm{\σ}\\ W_3={\∫}_0^{{\mathrm{\ω}}_3}{B}_3({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,\mathrm{\σ},X,{\mathrm{\β}}_3({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,\mathrm{\σ},X\left)\right)d\mathrm{\σ}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中表示相对于σ从0到ω₁的定积分，下同，式(8)中分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_1(\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X)=\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X){|}_{{\mathrm{\ω}}_1=\mathrm{\σ},{\mathrm{\ω}}_2={\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,{\mathrm{\ω}}_3={\widehat{\mathrm{\ω}}}_3}\\ {\mathrm{\β}}_2({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X)=\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X){|}_{{\mathrm{\ω}}_2=\mathrm{\σ},{\mathrm{\ω}}_1={\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,{\mathrm{\ω}}_3={\widehat{\mathrm{\ω}}}_3}\\ {\mathrm{\β}}_3({\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,\mathrm{\σ},X)=\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X){|}_{{\mathrm{\ω}}_3=\mathrm{\σ},{\mathrm{\ω}}_1={\widehat{\mathrm{\ω}}}_1,{\mathrm{\ω}}_2={\widehat{\mathrm{\ω}}}_2}\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中表示在ω₁＝σ,时的取值，对W₁求ω₁的偏导数，整理得

$\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂{\mathrm{\ω}}_1}=\frac{\∂{\mathrm{\β}}_1(\mathrm{\σ},{\widehat{\mathrm{\ω}}}_2,{\widehat{\mathrm{\ω}}}_3,X)}{\∂{\mathrm{\ω}}_1}={\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}1}---\left(10\right)$

其中表示求取对ω₁的偏导数，同理可得，因此写为：

$\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂\mathrm{\ω}}=\[\begin{array}{ccc}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}1}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}2}& {\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}3}\end{array}\]---\left(11\right)$

定义ω的估计误差为：由于连续可微，因此存在δ_ij∈R⁴,i,j＝1,2,3满足：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}1}=B_1(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)+e_{\mathrm{\ω}2}{\mathrm{\δ}}_{12}+e_{\mathrm{\ω}3}{\mathrm{\δ}}_{13}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}2}=B_2(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)+e_{\mathrm{\ω}1}{\mathrm{\δ}}_{21}+e_{\mathrm{\ω}3}{\mathrm{\δ}}_{23}\\ {\mathrm{\β}}_{\mathrm{\ω}3}=B_3(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)+e_{\mathrm{\ω}1}{\mathrm{\δ}}_{31}+e_{\mathrm{\ω}2}{\mathrm{\δ}}_{32}\end{array}\right.---\left(12\right)$

因此写为：

$\frac{\∂\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X)}{\∂\mathrm{\ω}}=B(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)+{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^3{e}_{\mathrm{\ω}j}{\mathrm{\Δ}}_j---\left(13\right)$

其中表示求取e_ω1Δ₁+e_ω2Δ₂+e_ω3Δ₃的和，Δ_j＝[δ_1j δ_2j δ_3j]∈R^4×3,δ_jj＝0,j＝1,2,3，将式(15)代入式(7)，整理得

$\stackrel{\·}{z}=-B(\mathrm{\ω},X,\mathrm{\β}(\mathrm{\ω},\widehat{\mathrm{\ω}},X\left)\right)J^{-1}LFz+{\mathrm{\Σ}}_{j=1}^3{e}_{\mathrm{\ω}j}{\mathrm{\Δ}}_j{J}^{-1}LFz-\frac{\stackrel{\·}{r}}{r}z---\left(14\right)$

对e_ω求一阶时间导数，整理得

${\stackrel{\·}{e}}_{\mathrm{\ω}}=-K(\mathrm{\ω},r,\widehat{\mathrm{\ω}}-\mathrm{\ω})e_{\mathrm{\ω}}+{\mathrm{rJ}}^{-1}LFz---\left(15\right)$

设计r，分别满足：

$\stackrel{\·}{r}={\mathrm{cr\Σ}}_{j=1}^3{e}_{\mathrm{\ω}j}^2\·\left|\right|{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Δ}}}_j(\mathrm{\ω},e_{\mathrm{\ω}},X,\mathrm{\β})|{|}^2,r\left(0\right)\≥1---\left(16\right)$

$K(\mathrm{\ω},r,\widehat{\mathrm{\ω}}-\mathrm{\ω})={\mathrm{mr}}^2{I}_3+{\mathrm{pcr}}^{2}D---\left(17\right)$

其中，r(0)表示r的初值，c,m,p均为正常数，且满足c≥3/(2γ)，表示Δ_j的上界，||·||表示2范数，I₃为3×3的单位矩阵，为3×3的对角矩阵，若式(16)和式(17)成立，则由式(16)和式(17)组成的系统有一个全局稳定的平衡点(z,e_ω)＝(0,0)，且z,r,e_ω均有界。

2.如权利要求1所述的基于观测器的四旋翼无人机容错控制方法，其特征是，由式(16)和式(17)组成的系统有一个全局稳定的平衡点(z,e_ω)＝(0,0)，且z(t),r(t),e_ω(t)均有界的证明步骤是采用基于Lyapunov的分析方法进行证明，具体地：

定义滑模面其中K_s为一3×3的正常数增益对角矩阵，证明当s渐近收敛到0时，和e_v也渐近收敛到0的过程是：

对s求导，并将代入得

$J\stackrel{\·}{s}=\Π(\mathrm{\ω},{\mathrm{\ω}}_d,{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d,e_q)+LF\widehat{\mathrm{\λ}}-rLFz---\left(18\right)$

其中：

$\Π(\mathrm{\ω},{\mathrm{\ω}}_d,{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d,e_q)=-S(\widetilde{\mathrm{\ω}}+{\tilde{R}}^T{\mathrm{\ω}}_d)J(\widetilde{\mathrm{\ω}}+{\tilde{R}}^T{\mathrm{\ω}}_d)+J\left(S\right(\widetilde{\mathrm{\ω}}){\tilde{R}}^T{\mathrm{\ω}}_d-{\tilde{R}}^T{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d)+\frac{1}{2}{\mathrm{JK}}_s\left(S\right(e_v)+e_0{I}_3)\widetilde{\mathrm{\ω}}$，

rLFz是有界的，因此假设||-rLFz||≤ρ，ρ为正常数，设计控制输入F为

$F=-\left|\right|\widehat{\mathrm{\λ}}|{|}^{-2}\·L^R(\Π(\mathrm{\ω},{\mathrm{\ω}}_d,{\stackrel{\·}{\mathrm{\ω}}}_d,e_q)+\mathrm{\Γ}s+\mathrm{\ρ}sign(s\left)\right)\·{\widehat{\mathrm{\λ}}}^T---\left(19\right)$

其中L^R＝L^T(LL^T)-¹表示矩阵L的伪逆矩阵，Γ为一3×3的正常数增益对角矩阵，sign为符号函数，将式(19)代入式(18)，采用基于Lyapunov的分析方法可以证明闭环系统全局渐近稳定，即当时间趋于无穷时，滑模面s渐近收敛到0，则和e_v也渐近收敛到0。