结构化多孔超材料的制作方法

本发明总体涉及在施加的载荷下具有特定的变形模式(图案)的三维(3D)结构化多孔超材料，并且更具体地，涉及具有负或零泊松比和/或零或负可压缩性(NC)的3D结构化多孔超材料。

背景技术：

以下对背景技术进行讨论的目的在于方便本发明的理解。然而，应当理解的是，这样的讨论不等于承认所提及的任何内容都是到本申请的优先权日为止已公开、已知的或公知常识的一部分。

材料的泊松比被定义为在单轴拉伸或压缩下材料侧向应变与轴向应变之比的负值。大多数材料具有正泊松比，因此材料在压缩下侧向地(laterally)膨胀并且在轴向拉伸下沿横向(transverse direction)收缩。拉胀材料是具有负泊松比(NPR)的材料。该材料在压缩下侧向地收缩并在轴向拉伸下沿横向膨胀。

可压缩性是固体或流体的作为对压力变化的响应的相对体积变化的度量。通常，当压力增加时，材料会沿所有方向收缩。然而，存在在静压力下沿一个或两个方向膨胀的一些特殊材料。这种现象分别被称为负线性可压缩性(NLC)和负面积可压缩性(NAC)。

近年来，人们对负可压缩性行为的兴趣日益增加，这主要归因于诸如压敏传感器、压力驱动致动器和光通信电缆等许多潜在应用。几乎很少有可获得的具有NLC或NAC的人造超材料。至于具有NPR的超材料，大部分现有可获得的人造超材料的代表性体积元(representative volume element)具有复杂拓扑(topology)。也已开发出若干拉胀弹性材料，其实例如下：

Overvelde等人(Compaction Through Buckling in 2D Periodic，Soft and Porous Structures:Effect of Pore Shape.Advanced Materials.2012；24:2337-2342)提出二维软蜂窝结构，该二维软蜂窝结构包括具有孔的方阵列的实体矩阵。但未对三维结构进行研究。提到通过改变孔的形状来设计和调整2D多孔结构对压缩的响应(包括材料的泊松比)。具有在0.4与0.5之间的孔隙率的结构被认为能提供适当的拉胀性能。注意到，具有较小孔隙率的结构促使产生宏观不稳定性，该宏观不稳定性导致结构以有限的压缩为特征。还注意到，具有较高的孔隙率的结构导致结构以非常薄的连接部为特征，使得该结构容易破碎。

美国专利公开No.20110059291A1提出，具有多孔结构的二维和三维结构化多孔材料均能提供从负泊松比至零泊松比的泊松比范围。建议空穴的几何形状在较宽的尺寸和形状的范围里可变。然而，示例结构由弹性体片材中的椭圆或椭圆状空穴的模式组成。二维和三维的多孔模式均包括具有小于0.5的孔隙率的空穴矩阵。在规则模式中，空穴作为基材内的单独的形状位于矩阵中并且间隔开。

Babaee等人(3D soft metamaterials with negative Poisson’s ratio.Advanced Materials.2013；DOI:10.1002/adma.201301986:1-6)提出一类新的具有负泊松比的三维超材料。对拉胀构建模块库进行识别并且对程序进行定义以指导拉胀构建模块的选择和装配。所提到的材料都包括球状构建模块单元的三维矩阵。每个球状构建模块包括成形空穴。将球堆叠在复杂三维阵列中以形成超材料。

因此，希望提供具有下列行为的新的和/或改进的三维超材料：负泊松比(NPR)、负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)和/或零面积压缩(ZAC)。具体地说，优选为新的拉胀超材料具有不同于和/或简单于Babaee等人所提到的超材料的结构。

技术实现要素：

在第一方面中，本发明提供一种结构化多孔超材料，所述结构化多孔超材料包括至少一个重复的基本单元的三维矩阵，所述矩阵由至少八个基本单元的阵列形成，每个基本单元包括含至少一个成形空穴的柏拉图立体，其中，每个基本单元的所述至少一个成形空穴的几何形状被定制为：

·提供在0.3与0.97之间的孔隙率；以及

·为所述超材料提供包括至少以下一项的响应：

-在拉伸和压缩下的0至-0.5的泊松比；以及

-在压力下的负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)或零面积压缩(ZAC)的行为。

因此，通过本发明的多孔结构，本发明能够提供两个大体不同的性能：

在第一实施例中，本发明提供具有在拉伸和压缩下有0至-0.5的泊松比的响应的结构化多孔超材料。本发明的该实施例包括在拉伸和压缩下均可提供大的且能调整的负泊松比(NPR)的简单构建单元。该超材料的负和/或零泊松比行为是由于空穴的变形机制和实体基材的变形机制导致的。

在这些实施例中，孔隙率优选为在0.30与0.97之间。更优选地，孔隙率为：

-对于球形的成形空穴，在0.69与0.97之间；

-对于规则非球形的成形空穴，在0.30与0.90之间；以及

-对于优化的成形空穴(具有优化形状的空穴)，在0.3与0.98之间。

在该第一实施例的一些形式中，本发明提供一种结构化多孔超材料，所述结构化多孔超材料包括至少一个重复的基本单元的三维矩阵，所述矩阵由至少八个基本单元的阵列形成，每个基本单元包括含至少一个成形空穴的柏拉图立体，其中，每个基本单元的所述成形空穴的几何形状被定制为：

·提供下列孔隙率:

-对于球形的成形空穴，在0.69与0.97之间；

-对于规则非球形的成形空穴，在0.30与0.90之间；以及

-对于优化的成形空穴，在0.3与0.98之间。

·为超材料提供包括在拉伸和压缩下的0至-0.5的泊松比的响应。

发明人发现，与现有技术的教导相违背的是：为了向所定义的基本单元提供优越的负和/或零泊松比行为，在具有基本单元且基本单元包括具有球形成形空穴的立方体的超材料中，需要将空穴的尺寸和几何形状构造为提供在0.69与0.965之间的孔隙率就此而言，发明人发现，如主要在US20110059291中以及由Overvelde等人所提到的低的孔隙率值，不能提供在大的压缩应变下表现出可调的负和/或零泊松比的三维多孔结构，尽管这些特性被证明为表现在两维和三维结构中。这些材料的期望的性能和变形特性只能通过对多孔结构以及基本单元和构成空穴的几何形状的显著改变来在三维结构中再现。

不希望受限于任何一个理论，发明人认为通过下述方式可以实现本发明的超材料的负泊松比：对材料的几何形状和孔隙率进行选择以生成期望的空穴的交替开闭变形模式以及基本单元的特定构造，其中，基本单元的特定构造在受压缩时允许基本单元的材料的一部分发生空间旋转和平移而基本单元的材料的其它部分则发生弯曲和伸长。

在第二实施例中，本发明提供在压力下具有负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)或零面积压缩(ZAC)的行为的结构化多孔超材料。在本发明的这些实施例中，超材料包括经简化的构建单元，经简化的构建单元提供压力下的NLC、NAC、ZLC和ZAC行为。在优选的形式中，这些构建单元由双向渐进结构优化(BESO)得出。

在这些实施例中，孔隙率优选为在0.30与0.97之间。更优选地，对于优化的成形空穴，孔隙率在0.3至0.95之间。

在该第二实施例的一些形式中，本发明提供一种结构化多孔超材料，所述结构化多孔超材料包括至少一个重复的基本单元的三维矩阵，所述矩阵由至少八个基本单元的阵列形成，每个基本单元包括含至少一个优化的成形空穴的柏拉图立体，其中，每个基本单元的所述至少一个成形空穴的几何形状被定制为：

·对于优化的成形空穴，提供在0.3与0.95之间的孔隙率；以及

·为超材料提供包括至少具有响应的超材料，响应包括以下至少一项：在压力下的负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)或零面积压缩(ZAC)的行为。

本发明的超材料的矩阵结构由重复的相邻基本单元形成。超材料由三维矩阵形成，三维矩阵由至少八个基本单元的阵列形成，其优选地排列为2×2×2矩阵并且优选地在三维矩阵中排列比八个基本单元更多的基本单元。基本单元的形状为柏拉图立体，柏拉图立体能够将基本单元以相邻单元之间没有任何空穴和间隙的方式排列在矩阵中。在优选实施例中，基本单元包括四面体、立方体、长方体、平行立面体、八面体、十二面体和二十面体中的至少一者。在一个示例性实施例中，基本单元包括六面形，优选为立方体、长方体、平行立面体，并且更优选为立方体，进一步优选为立方对称的柏拉图立体。

每个基本单元具有几何中心。在优选实施例中，空穴的几何形状以基本单元的几何中心为中心，并且更优选地，每个空穴的几何中心以基本单元的几何中心为中心。这提供了在整个矩阵中相邻空穴形状的中心之间的规则的间距。

可以通过使用不同的空穴基本形状和代表元的屈曲模态(buckling mode)来调整超材料的负泊松比。例如，由包括具有球形基本形状的空穴的基本单元形成的材料与由包括具有卵形基本形状的空穴的基本单元形成的材料具有不同的负泊松比。类似地，由包括具有球形基本形状或卵形基本形状的空穴的基本单元形成的材料与由包括具有椭球形的空穴的基本单元形成的材料具有不同的负泊松比。

每个基本单元内的一个或多个空穴可以具有任何适当的形状和构造。空穴的基本形状优选地选择为为超材料提供期望的拉伸和压缩性能。在一些实施例中，空穴的基本几何形状包括球体形状或至少一个规则非球形形状，规则非球形形状诸如为卵形、椭球形(包括橄榄球形)、立方体形、长方体形、平行六面体形、双曲线体形、圆锥体形、八面体形或其它规则的3D化多边形形状。在优选的形式中，空穴包括球体、卵形体或椭球体，更优选地为球体或卵形体，但更加优选地为球体。

在其它实施例中，一个或多个空穴可以具有非规则形状。例如，在一些实施例中，一个或多个空穴可以由互联的空穴形状的组合所形成，所述空穴形状诸如为卵形、椭球形(包括橄榄球形)、立方体形、长方体形、平行六面体形、双曲线体形、圆锥体形、八面体形或其它规则的3D化多边形形状。

在其它实施例中，空穴的基本几何形状包括优化的形状，因此包括优化的形状的空穴。应当理解，优化的成形空穴是具有由优化算法(优选为双向渐进结构优化(BESO))得出的构造和形状的成形空穴，以提供期望的响应性能。因此，空穴形状具有优化的形状以提供这些响应。这种优化的成形空穴通常具有复杂的形状并且包括若干不同的规则形状的合并。此外，优化的成形空穴可以包括位于基本单元内的两个或多个分离的空穴形状。例如，基本单元可以包括三个分离的空穴空间，空穴空间大致位于侧面并且一个空穴围绕基本单元的几何中心。优选地，空穴成形为帮助提供这样的超材料：在压力下具有至少负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)和零面积压缩(ZAC)的行为之一。

如上文所述，超材料和构成基本单元的孔隙率是本发明的超材料的变形特性中的要素。基本单元的孔隙率通常构造为在0.3与0.97之间。在优选实施例中，孔隙率在0.4与0.90之间，并且更优选地在0.50与0.90之间。在一些实施例中，孔隙率在0.60与0.90之间。在一些实施例中，孔隙率在0.3与0.80之间。在一些实施例中，孔隙率在0.69与0.90之间。在一些实施例中，孔隙率在0.50与0.97之间。在一些实施例中，孔隙率在0.60与0.97之间。

然而，应当理解的是，有效孔隙率随着构建胞元(building cell)中空穴的形状变化。在实施例中，基本单元的空穴几何形状优选地定制为提供下列孔隙率：

-对于球形的成形空穴，在0.69与0.97之间；

-对于规则非球形的成形空穴，在0.30与0.90之间；以及

-对于优化的成形空穴，在0.3与0.98之间。

在这些超材料包括具有球形空穴的立方基本单元的实施例中，孔隙率优选为在0.69与0.97之间。在这些超材料包括具有椭球形空穴的立方基本单元的实施例中，孔隙率优选为在0.3与0.875之间。在这些超材料包括优化的成形空穴的实施例中，对于优化的成形空穴，孔隙率在0.3与0.97之间，优选地在0.40与0.90之间，并且更优选地在0.50与0.90之间。

基本单元包括柏拉图立体。对于优化的成形空穴，基本单元中的成形的一个或多个空穴形成位于柏拉图立体内的空间，该空间将单位胞元(unit cell)中的实体材料切除或成形为所需的形式以提供期望的NLC、NAC、ZLC或ZAC性能。例如，在基本单元包括立方体的情况下，使用优化算法(例如双向渐进结构优化(BESO))来确定优化的成形空穴的几何形状，以提供具有这些性能的单位胞元结构。

通常地，基本单元包括宽度、高度和长度。在一些实施例中，空穴的基本几何形状(base geometric shape)的至少一个量度(dimension)大于基本单元的宽度、高度和长度中的至少一者。在该实施例中，空穴包括基本几何形状的截头形式(truncated form)。例如，在空穴的基本几何形状包括球形并且基本单元包括立方体的情况下，该球形的直径可以大于立方基本单元的宽度、高度和长度。类似地，在空穴的基本几何形状包括椭球形并且基本单元包括立方体的情况下，该椭球形的所选的轴长可以大于立方的基本单元的宽度、高度和长度。从而，空穴的形状将是截头的椭球形。

基本几何形状的截头在基本单元形状的侧面形成开口。在优选实施例中，空穴包括位于基本单元至少一侧，优选为两侧的开口。例如，在空穴的基本几何形状包括球形并且基本单元为立方体的情况下，基本的球形几何形状将在立方基本单元的各个侧壁中形成圆形开口。更优选地，空穴包括位于基本单元的至少两个相对侧中的开口。这样，第一基本单元的空穴空间与至少两个相邻的基本单元的空穴空间互联。在一些实施例中，空穴包括位于基本单元的各个(所有)侧中的至少一个开口。

对于本发明的第一实施例，可以使用通过有限元分析得到的屈曲模型来定制基本单元的构造、空穴几何形状以及由基本单元形成的矩阵的模式(pattern)，从而提供对范围从0至-0.5的泊松比的初始值进行控制的手段。就此而言，材料的期望的变形状态包括：相邻的空穴在整个矩阵中交替开闭。有利的是使空穴形成变形模式的图案，以迫使空穴在材料承受拉伸或压缩时采取该构造，因此，在一些实施例中，空穴的基本几何形状包括这样的形状：该形状具有大于中心高度的中心长度并具有中心长轴，基本单元的矩阵排列为使得每个基本单元的空穴的中心长轴与每个相邻的基本单元的空穴的中心长轴垂直。优选地，空穴形状包括卵形或椭球形，更优选地为卵形。

在一些实施例中，超材料可以包括至少两个不同的重复的基本单元的三维矩阵：包括第一基本单元和第二基本单元，第一基本单元包括含第一成形空穴的柏拉图立体，第二基本单元包括含第二成形空穴的柏拉图立体。第一基本单元和所述第二基本单元优选地按图案排列，优选地在三维矩阵中按规则图案排列。在一些实施例中，第一成形空穴具有与第二成形空穴不同的形状。

空穴可以具有任何适当的形式。在一些实施例中，空穴包括由基本单元的材料构架的空置空间。在其它实施例中，空穴由可压缩材料构成，优选地由具有高度可压缩性的可压缩材料构成。在又一些实施例中，空穴含有至少一种流体，优选地含有至少一种液体。

在空穴保持流体的情况下，基本单元中的空穴的几何形状优选地构造为允许流体流过矩阵中的空穴。在本发明的超材料的一些应用中，使用用作阻尼机构的流体填充这种空穴。

基本单元材料可以是任何适当的基材。在一些实施例中，基本单元材料包括聚合物材料。示例性聚合物材料包括非填充或填充型硫化橡胶、天然或合成橡胶、交联弹性体、热塑性硫化橡胶、热塑性弹性体、嵌段共聚物、多嵌段共聚物、交联聚合物、热塑性聚合物、填充或非填充型聚合物和环氧树脂中的至少一种。在其它实施例中，基本单元材料包括金属和陶瓷材料以及复合材料。示例性金属包括铝、镁、钛、铁及其合金。

在一些实施例中，基本单元材料包括生物相容性材料，优选为生物相容性聚合物材料。

可以使用若干方法来确定本发明的超材料的结构和构造。在本发明的一些实施例中，使用诸如双向渐进结构优化(BESO)建模技术等结构优化算法来确定根据本发明的结构化多孔超材料的构造。

本发明的第二方面提供了一种确定结构化多孔超材料的构造的方法，所述结构化多孔超材料包括至少一个重复的基本单元的三维矩阵，所述方法包括：

·使用结构优化算法确定基本单元拓扑(base unit topology)，每个基本单元包括含至少一个成形空穴的柏拉图立体，每个基本单元的所述至少一个成形空穴的几何形状被定制为向所述超材料提供在0.3至0.97之间的孔隙率以及包括至少以下一项的响应：

-在拉伸和压缩下的0至-0.5的泊松比；以及

-在压力下的负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)或零面积压缩(ZAC)的行为；以及

·简化每个基本单元的所述至少一个成形空穴的构造以形成结构化基本单元；以及

·由至少八个结构化基本单元的阵列形成三维矩阵。

尽管可以使用任何适当的结构优化算法或技术，但在优选实施例中，每个基本单元内的成形空穴的构造由双向渐进结构优化(BESO)模型得出。

简化每个基本单元的至少一个成形空穴的构造的步骤的目标为：简化和/或优化基本单元的构造并产生用于3D打印构造的矩阵。因此，该步骤优选地包括重新构造一个或多个成形空穴的拓扑以得到更规则的几何形状。该经简化的构造通常更适于3D打印构造。

应当理解，该方法适于形成根据本发明的第一方面的结构化多孔超材料。该第二方面的方法尤其适用于形成本发明的第一方面的第二实施例的包括优化的成形空穴的超材料，该优化的成形空穴提供在受压力时具有负线性压缩(NLC)、负面积压缩(NAC)、零线性压缩(ZLC)和零面积压缩(ZAC)的行为的结构化多孔超材料。

本发明的超材料具有这样的潜力：用作根据外部载荷重新分配超材料的基材的结构，以便更有效地支撑外部载荷。这种经设计的结构各向异性可以将载荷向特定方向引导。因此，该类型的超材料可以被设计为生成复杂的应力-应变路径以保护特定的内部体积。

本发明的能调整的泊松比和/或可压缩性是通过确定在将力(优选为压缩力或压力)施加到材料上时的结构屈曲期间，超材料的变形特性而获得的。该变形特性可以使用材料的标准屈曲分析来确定，其中，对变形机制进行确定。在屈曲时的变形特性被称为基本单元的“屈曲模态”。屈曲模态提供了材料的结构的变形。一旦确定了屈曲模态，然后就可以修改基本单元(更优选为空穴)的结构以改变(增强或抑制)初始超材料的初始微结构，从而改变或调整超材料的性能，诸如泊松比的值、有效应变范围和/或与材料的期望的NPR、NLC、NAC、ZLC、和/或ZAC行为有关的可压缩性等。

在第三方面，本发明提供了一种调整根据本发明的第一方面的超材料的泊松比的值和有效应变范围的方法。所述方法包括以下步骤：

通过标准屈曲分析来识别受压缩时超材料的局部屈曲模态；

确定屈曲期间的超材料的代表性体积元和变形机制；

确定代表性体积元的修改代表性体积元的形状更改的值的范围，所述形状更改改变了所述代表性体积元的变形机制；

通过所述超材料的所述局部屈曲模态与所述代表性体积单元的所选择的形状更改的叠加来改变原始基本单元，从而使所述超材料的泊松比的值和有效应变范围能够被调整为期望的值。

优选地，更改所述基本单元的所述空穴的形状以改变所述基本单元的构造。

附图说明

现在将参照附图来描述本发明，这些附图示出了本发明的特定优选实施例，其中：

图1A提供了不具有负泊松比的对比用三维结构化多孔材料的几何构造，其中图1A的(A)示出了基本胞元单元；(B)示出了包括基本单元的8×8×8矩阵的对比用材料的块体；并且(C)示出了对比用材料的代表性体积单元。

图1B提供了根据本发明的第一实施例的用于三维结构化多孔超材料的几何构造，其图1B的(A)示出了基本胞元单元；(B)示出了包括基本单元的8×8×8矩阵的本发明的超材料的块体；并且(C)示出了本发明的超材料的代表性体积单元。

图2提供了图1B所示的超材料的样本的照片，其中图2的(A)中的样本具有使用3D打印制造的支撑材料；并且(B)中的样本不具有使用3D打印制造的支撑材料。

图3A示出了材料的变形模式和这样的屈曲模态，其中，图3A的(A)中的材料具有对比用面心立方胞元(体积分数：51.0％)并且(B)中的材料具有根据本发明的立方构建胞元(体积分数：12.6％)。

图3B提供了本发明的超材料的沿两个不同方向D1和D2的力-位移响应的视图。

图3C提供了具有面心立方胞元的对比用结构化多孔材料的沿三个不同载荷方向的名义应力-应变曲线的对比。

图4提供了本发明的超材料的变形模式(体积分数：12.6％，载荷方向：D2(图3)，应变速率：10^-3s^-1)在(A)实验与(B)有限元模型之间的对比。

图5提供了关于形成有球形空穴和稍卵形空穴(具有不完全性(imperfection)的球形)的本发明的超材料的名义应力-应变曲线在实验与有限元模型之间的对比。

图6提供了包括稍卵形空穴的本发明的超材料的实施例的变形模式(体积分数：12.6％，应变速率：10^-3s^-1)在(A)实验与(B)有限元模型之间的对比。

图7A提供了在立方构建胞元中具有四面体的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中示出了：(A)基本胞元单元；(B)包括基本单元的8×8×8矩阵的本发明的超材料的块体；以及(C)本发明的超材料的代表性体积单元的等轴视图。

图7B提供了在立方构建胞元中具有椭球体的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中示出了：(A)基本胞元单元；(B)包括基本单元的8×8×8矩阵的本发明的超材料的块体；以及(C)本发明的超材料的代表性体积单元的等轴视图。

图8A提供了在载荷下的图7A所示的超材料的变形模式，其中示出了：(A)在xz平面中的材料块(bulk material)(8×8×8)的变形模式；(B)在yz平面中的材料块(8×8×8)的变形模式；(C)在xz平面中代表性体积单元(2×2×2)的变形模式；以及(D)代表性体积单元(2×2×2)的变形模式的等轴视图。

图8B提供了在载荷下的图7B所示的超材料的变形模式，其中示出了：(A)在xz平面中的材料块(8×8×8)的变形模式；(B)在yz平面中的材料块(8×8×8)的变形模式；(C)在xz平面中代表性体积单元(2×2×2)的变形模式；以及(D)代表性体积单元(2×2×2)的变形模式的等轴视图。

图9提供了根据本发明的第二实施例的具有NLC的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中图9的(A)示出了从BESO得出的优化的构建胞元；(B)示出了经简化的构建胞元；并且(C)示出了包括构建胞元单元的8×8×8矩阵的对比用材料的块体。

图10提供了图9所示的具有NLC的本发明的NC超材料的变形模式在(A)实验与(B)有限元模型之间的对比；并且图10的(C)示出了压力下的NLC材料的应变-压力历史在FE结果与实验数据之间的对比。

图11提供了根据本发明的第二实施例的具有NAC的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中图11的(A)示出了从BESO得出的优化的半构建胞元；(B)示出了从BESO得出的优化的构建胞元；(C)示出了经简化的构建胞元；并且(D)示出了包括构建胞元单元的8×8×8矩阵的材料的块体。

图12提供了用于根据本发明的第二实施例的具有ZLC的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中图12的示(A)示出了从BESO得出的优化的半构建胞元；(B)示出了从BESO得出的优化的构建胞元；(C)示出了经简化的构建胞元；并且(D)示出了包括构建胞元单元的8×8×8矩阵的材料的块体。

图13提供了用于具有根据本发明的第二实施例的ZAC的三维结构化多孔超材料的几何构造，其中图13的(A)示出了从BESO得出的优化的半构建胞元；(B)示出了从BESO得出的优化的构建胞元；(C)示出了经简化的构建胞元；并且(D)示出了包括构建胞元单元的8×8×8矩阵的材料的块体。

具体实施方式

本发明总体涉及在施加的载荷下具有特定的变形模式的一系列3D结构化多孔超材料，并且更具体地涉及具有至少以下一项的结构化多孔超材料：

·在单轴拉伸或压缩下的负泊松比；和/或

·在均匀压力下的诸如负线性可压缩性(NLC)、负面积可压缩性(NAC)、零线性可压缩性(ZLC)和/或零面积可压缩性(ZAC)等零或负可压缩性。

本发明的拉胀超材料形式的微结构的初始设计产生自使用由基本单元形成的三维重复矩阵，其中，基本单元包括诸如立方体等柏拉图立体，该立方体具有诸如球形或椭球形等成形空穴空间。柏拉图立体提供了可重复且可堆叠的基本结构，并且成形空穴赋予了空穴空间和(围绕着空穴的)周围的基本单元框架结构以所需的特性。每个基本单元的空穴几何形状被定制为：提供在0.3与0.97之间的孔隙率；并且为超材料提供在拉伸和压缩下具有0至-0.5的泊松比的响应。具体的孔隙率取决于所使用的成形空穴的类型。因此，对于球形成形空穴，孔隙率通常在0.69与0.97之间；对于规则的非球形成形空穴，孔隙率在0.30与0.90之间；并且对于优化的成形空穴，孔隙率在0.3与0.97之间。此外，如将参考具体示例性材料构造在下文中更加详细地说明的那样，该结构赋予材料以所定制的变形特性，并且通过下述方面的结合实现负泊松比：材料中的空穴的特定变形特性(相邻空穴的交替开闭模式)、基本单元材料的刚性部分的空间旋转和平移、以及基本单元材料的较薄或较柔韧部分的弯曲和延伸。

本发明的零或负可压缩性(NC)超材料形式的微结构的初始设计产生自使用由基本单元形成的三维重复矩阵，其中，基本单元包括诸如立方体的柏拉图立体，该立方体具有一个或多个成形空穴空间。位于基本单元内乃至这些构建单元的拓扑内的空穴的形状由双向渐进结构优化(BESO)模型导出，该模型形成为使用期望的基本单元(例如也为立方体)来提供期望的NC性能。然后，更改BESO结果以简化一个或多个空穴的拓扑从而使之具有更规则的形状。该经简化的形状通常更适于3D打印构造。柏拉图立体提供了可重复且可堆叠的基本结构，并且基本单位胞元中的一个或多个成形空穴(优化的成形空穴)赋予了空穴空间和(围绕着空穴的)周围的基本单元框架结构以所需的特性。每个基本单元的空穴几何形状(一个或多个空穴的优化形状)被定制为提供在0.3与0.95之间的孔隙率；并且为NC超材料提供在均匀压力下具有以下行为之一的响应：NLC、NAC、ZLC和ZAC。

基本单元的材料可以是聚合物，该聚合物包括但不限于：非填充型或填充型硫化橡胶、天然或合成橡胶、交联弹性体、热塑性硫化橡胶、热塑性弹性体、嵌段共聚物、多嵌段共聚物、交联聚合物、热塑性聚合物、填充型或非填充型聚合物、以及环氧树脂。在其它实施例中，基本单元的材料还可以是非聚合物，该非聚合物包括但不限于：金属和陶瓷材料以及复合材料。示例性金属包括铝、镁、钛、铁及其合金。

可以通过本领域所公知的3D打印、从基材溶解或融化图案化的空穴以及烧结技术来实现根据本发明的3D结构的制造。

双向渐进结构优化(BESO)

用于本发明的零或负可压缩性(NC)超材料形式的微结构的初始设计的优化方法基于双向渐进结构优化(BESO)。BESO的基本构思是从基础结构逐步地去除无效的材料并且使材料重新分布到最关键的部位，从而使结构朝向优化演进。

对于3D连续体材料而言，基础结构为单位立方胞元并且使用均匀化理论确定材料性能(例如，弹性矩阵)。关于本发明的NC形式，将BESO方法应用于四种类型的材料设计，即，NLC、NAC、零线性可压缩性(ZLC)和零面积可压缩性(ZAC)。

通过均匀化确定材料的线性可压缩性、面积可压缩性和体可压缩性

使用有限元(FE)分析将由基材和空穴组成的蜂窝材料(cellular material)建模为周期性基本胞元(PBC)的微结构。根据均质化理论(Hassania，B.，Hintona，E.，1998.A review of homogenization and topology optimization I—homogenization theory for media with periodic structure.Computers&Structures 69(6)，707–717)，有效弹性常数可以表达为

其中，E为基材的弹性矩阵，NE为单元的数量，为i-th单位应变场并且ε_i为相应的诱发应变场。

对于3D材料，其包括应用周期性边界条件和单位应变场的六种情况。然后，构成弹性矩阵E^H。均匀化柔度矩阵C^H为E^H的逆矩阵，即

由于此处所研究的材料为正交各项异性的，因此不存在轴向剪切耦合(axial-shear coupling)，因此轴向分量的3×3子矩阵可以被提取如下：

基于上述柔度矩阵，沿轴i(i＝1、2、3)的线性可压缩性可以被表达为

β_Li＝C_i1+C_i2+C_i3 (4)

该式具有应力的倒数的维度(the dimension of inverse of stress)。ij平面中的面积可压缩性被定义为

β_Aij＝β_Li+β_Lj，i≠j (5)

并且体积可压缩性为

β_v＝β_L1+β_L2+β_L3 (6)

应注意，公式(6)是公式(3)中柔度矩阵的九个常数的总和，该总和在数值上等于微观结构在单位静应力下的应变能的两倍。由于应变能大于或等于零，因此显然，对于正交各项异性材料来说，体积可压缩性可以为正或零。

1.负线性可压缩性

典型的优化问题通常以目标函数(s)和约束(s)来定义。这里，目标函数的明显选项是在具体方向上的线性可压缩性。例如，我们可以将使轴3中的可压缩性β_L3＝C₃₁+C₃₂+C₃₃最小化作为目标。我们选择实体材料作为优化处理的初始设计。对于这种初始设计，C₃₁和C₃₂均为负，因此β_L3可以被重写为β_L3＝-(|C₃₁|+|C₃₂|)+C₃₃。注意到，β_L3初始为正，并且“驱使”其变为负的一个方法是增加两个负项的权重，即，β_L3＝-(p|C₃₁|+p|C₃₂|)+C₃₃其中p＞1。这里p可以被看作应力因子或惩罚参数：替代单位应力σ^u＝{1,1,1}，在优化处理期间应用修正的应力σ＝{p,p,1}。p的下限为1，其必然在收敛中达到。通过假设线性可压缩性等于零来指定p的上限，即

β_L3＝p^upperC₃₁+p^upperC₃₂+C₃₃＝0 (7a)

为保持材料的正交各向异性，公式(7a)被重写为

并且p^upper为

指定p∈[1,p^upper]，p的值待确定。由于应用于轴1和轴2的p值相同，因此所得到的材料关于平面1-2中的45度线而对称。

接下来，我们讨论在优化处理中，除体积约束以外应当包括什么约束。由于NLC设计很可能非常灵活，因此需要防止该设计变得异常(singular)。换言之，需要保持合理的刚度。通过将C₃₃包括在目标函数中来保持沿轴3的刚度。可以通过规定C₁₁和C₂₂上的约束(例如，通过要求它们小于1/E^*，其中E^*是规定的刚度目标)来考虑沿轴1和轴2的刚度。

根据上述讨论，可以按如下优化来处理NLC材料的设计：

最小化

使

C₁₁＝C₂₂ (8d)

p＝1并且 (8e)

x_e＝x_min或1 (8f)

其中，V为规定的体积，V_e为单元e的体积，并且x_e为设计变量，其中，对于空穴x_e＝x_min且对于实体x_e＝1。

代入目标函数和约束的拉格朗日函数为

由于C₁₁＝C₂₂，因此将相同的拉格朗日乘子λ应用于约束(8b)和(8c)。

弹性体和柔度常数的灵敏度分析

拉格朗日函数相对于设计变量的灵敏度为

该公式被称为柔度常数的灵敏度分析式。为实现此目的，可以通过使用伴随方法(M.P.，Sigmund，O.，2003.Topology optimization:theory，methods and applications 2nd ed ed.Springer，Berlin)得到弹性体常数的灵敏度。根据公式(1)，的灵敏度可以被表达为

项取决于用于插值杨氏模量E的函数。这里的插值方案基于

其中E_b1和E_b2是基材的杨氏模量并且q用作惩罚因子。q的值通常等于或大于3。对于本文所考虑的实例，已发现q＝6时得到最佳结果。本研究专注于设计蜂窝材料，因此其中一个基材为空穴，即，E_b1或E_b2接近零。

利用公式(3)，通过使用链式法则来计算平均柔度矩阵C^H的灵敏度，即

该公式可以通过遵循一系列矩阵运算而解析地计算出。

灵敏度数值

上述灵敏度分析形成了在BESO求解过程中用作搜索准则的灵敏度数值的基础。根据公式(10)，灵敏度数值被定义为

然后，该灵敏度数值经过半径为r_min的球面范围的筛选(filter)，获得灵敏度数值α_e的加权“平均值”，即

以块单元e的中心作为参照，将半径r_min内的相邻单元包括在内以用于计算单元e的平均灵敏度。来自相邻单元的贡献取决于每个单元的灵敏度以及每个单元到单元e的距离。详细的筛选方法见Huang，X.，Xie，Y.M.，2010.Evolutionary Topology Optimization of Continuum Structures:Methods and Applications.John Wiley&Sons，Chichester，England，该文献的内容应理解为以引用的方式并入本说明书。

以相同的方式筛选柔度矩阵的灵敏度，即

假设在一次迭代中共有m个单元被修正，则C^H的增量为

修正后预计的平均柔度为

C'_ij≈C_ij+ΔC_ij (18)

BESO程序

与大多数基于灵敏度分析的数值方法一样，BESO迭代地执行对最优解的搜索直至满足一定的准则。求解程序的细节如下：

A.参数

存在控制迭代的步长的三个参数，即：演进比(evolutionary ratio)ER、最大化比R_max和添加单元的最大化比AR_max。假设设计区域共有NE个单元并且体积约束(目标体积)为V。当前和下次迭代的体积分别为V^k和V^k+1。V^k+1被预测为V^k+1＝V^k(1-ER)并且单元修正的阈值被设定为

NE_thre＝NE×V^k+1＝NE×V^k(1-ER) (19)

根据阈值的修正被推导如下。首先，按降序对NE个单元的灵敏度数值进行排序。然后，将阈值NE_thre以上的空穴单元切换为实体，并且将阈值以下的实体单元切换为空穴。结果，所去除和所添加的单元的总数分别为NR和NA。

所修正的单元的净数量为NR-NA，其中，如果体积从初始的高值起向目标接近，则NR-NA为正。引入参数AR_max以确保在一次迭代中添加的单元的数量不至于太大，即，当NA/NE的比超过AR_max时，将NA减少至NA_max＝AR_maxNE。

同样，要求NR和NA(或NA_max(如果适用))的总和不至于太高，即，

如果超过比值，则根据下列等式来减少所去除和所添加的单元的数量：

B.总体程序

BESO程序的外循环如下：

1.使用有限元使周期性基本单元离散化并且定义初始设计。

2.应用周期性边界条件和相应的单位应变场。

3.针对边界和单位应变的情况，实施有限元分析以获得诱发应变场ε。

4.计算弹性矩阵E^H和柔度矩阵C^H。

5.确定应力因子p和拉格朗日乘子λ(内循环)，如在下述章节C-应力因子和拉格朗日乘子中详细描述的那样。

6.使用公式(11～15)计算灵敏度数值

7.根据更新基本单元的拓扑，其中使用如上述章节A-参数中详细描述的阈值和参数。

8.重复步骤2至步骤7直至使目标函数在迭代之间趋于稳定。

C.应力因子和拉格朗日乘子

在公式(9)中，拉格朗日函数f_L具有两个未知数，即与刚度约束相关联的应力因子p和拉格朗日乘子λ。如果约束太过严格，即，的值太小，则可能不足以使目标可压缩性降低到零以下。因此，的大小应当合理以使结构足够柔韧。在迭代的早期阶段(从作为初始设计的实体结构开始)，结构非常刚硬且满足约束因此拉格朗日乘子λ＝0。在该阶段仅需对应变因子p进行求解。随着迭代的继续，p将收敛于单元值(unit)并且刚度将逐渐降低，直至C₁₁变得大于这时，拉格朗日乘子λ被激活并且需要进行求解。一旦p和λ被求解，则分别对它们取当前迭代与上次迭代之间的平均值。

D.应力因子的确定

通过通用的二分方法(bi-section method)来求解应力因子：

1.使用公式(7c)计算p的上限。然后，p的搜索范围为[1，p^upper]。

2.赋值使λ＝0并且赋值使p的初始值＝1。

3.使用公式(11～15)计算灵敏度数值

4.获得具有与约束V相等的体积的假设的拓扑。这与章节3.4.2中的步骤7类似。现在阈值为NE_thre＝NE×V。按降序对NE单元的灵敏度数值进行排序。然后，将阈值NE_thre以上的空穴单元切换为实体，并且将阈值以下的实体单元切换为空穴。

5.对于所假设的新拓扑，使用公式(16～18)估算柔度矩阵计算应力因子

其中上标“V”指体积约束V。

6.使用下列准则检查p的收敛：

a.p^V＝1

b.如果不满足a)，则当前迭代与上次迭代之间的p^V变化很小。

7.如果不满足以上收敛准则，则根据二分法则更新p，即，如果p^V＞1，则并且将下限重设为p^lower＝p^m。

8.继续迭代m+1。重复步骤3至7直至达到收敛。

最终应力因子取p与p^V的平均值。

9.在p收敛时，也确定以下刚度约束是否被激活。

如果f_con≤0，则拉格朗日乘子未被激活，因此λ＝0。

如果f_con＞0，则拉格朗日乘子被激活。然后，如下所述，继续至下一步骤以确定λ。

E.确定拉格朗日乘子

1.根据公式(24)，如下所述地计算λ的上限

注意到，在公式(25)中通过应用2次幂，边界进一步放宽，从而在更宽的范围搜索解。

2.应力因子根据已经收敛的单元值p＝1。赋值使λ的初始值＝0。

3.使用公式(11～15)计算灵敏度数值

4.获得具有与约束V相等的体积的假设的拓扑，这与章节D中的步骤7相同。

5.对于所假设的新拓扑，使用得到的值的公式(16～18)估算柔度矩阵

6.使用下列准则来检查的收敛：

7.满足f_con＝0。

8.如果不满足a)，则当前迭代与上次迭代之间的变化很小。

9.如果不满足上述收敛准则，则根据二分法则更新λ，即

a)如果f_con>0，且将下限重设为λ^lower＝λ^m。

b)如果f_con<0，且将上限重设为λ^upper＝λ^m。

10.继续迭代m+1。重复步骤3至7直至达到收敛。

2.负面积可压缩性

在处理NLC问题时，我们已引入应力因子p以将线性可压缩性β_L3向零驱使然后朝向最小值驱使。对NAC使用类似的策略。这里设计目标是最小化β_A23＝β_L2+β_L3，并假设β_L2＝β_L3。为了使材料沿轴2和轴3产生更多收缩，在优化处理的早期阶段期间沿轴1施加更大的应力。因此，包含应力因子p的应力矢量被定义为σ＝{p,1,1}，其中p≥1。在该应力下的材料的可压缩性被重写为

其中，C₂₁＝C₃₁且C₃₃＝C₂₂ (27c)

出于与章节3.1中所给的相同原因，可以通过设定β_L3＝0来获得p的上限，即

指定p∈[1,p^upper]，使用在章节3.4.3.1中所描述的二分方法确定p的值。在多次迭代之后，p将收敛于1。

将用于设计NAC材料的优化问题阐述为：

最小化β_A23＝β_L2+β_L3 (29a)

使

p＝1 (29c)

x_e＝x_min或1 (29d)

拉格朗日函数为

与公式(9)中给出的用于NLC优化的拉格朗日函数类似，上述等式具有两个未知数，即应力因子p和拉格朗日乘子λ。使用与NLC所详述的方法相同的方法求解这两个未知数。然后，遵循与上述整体BESO程序相同的程序寻找优化的NAC设计。

3.零线性可压缩性

关于ZLC运算，假设材料受单位静压力，且测量材料的整体刚度的一个方式是应变能，即为设计具有零线性可压缩性(沿轴3)的最刚硬的材料，我们将优化问题阐述为：

最小化

使β_L3＝0(31b)

β_L1＝β_L2 (31c)

x_e＝x_min或1 (31d)

拉格朗日函数为

由于初始设计的立方对称性，从一开始就满足β_L1＝β_L2，因此上述等式中最后一项为零。通过使用以下所详述的二分方法来求解第一乘子λ。

整体BESO程序(外循环)与之前所述的类似。在每次迭代时实施内循环以求解拉格朗日乘子λ。然后对拉格朗日乘子λ的值取当前迭代与上次迭代之间的平均值。确定λ的程序如下：

1.假设λ在[0，1]的范围内变化，并且赋值使λ^m和λ^upper初始值分别等于0和1。

2.赋值使λ的初始值等于0。

3.使用公式(11～15)计算灵敏度数值

4.以与上述的应力因子程序中的步骤4相同的方法，获得体积等于约束V的假设的拓扑。

5.对于所假设的新拓扑，使用公式(16～18)估算矩阵计算可压缩性

6.使用以下准则来检查的收敛：

a)满足

b)如果不满足a)，则在当前迭代与上次迭代之间的变化很小。

7.如果不满足以上收敛准则，则根据二分法则更新λ，即

a)如果且则将下限重设为λ^lower＝λ^m。

b)如果且则将上限重设为λ^upper＝λ^m。

8.继续迭代m+1。重复步骤3至7直至达到收敛。

9.一旦收敛，假设应力矢量σ＝{p,p,1}被施加在材料上使得如下计算应力因子

然后，将p^V用于如下修正拉格朗日函数

该函数被用于计算外循环中后续迭代的灵敏度。

4.零面积可压缩性

对于ZAC运算，见如下的问题阐述：

最小化

使β_L3＝0 (39b)

β_L2＝0 (39c)

x_e＝x_min或1 (39d)

拉格朗日函数为

求解拉格朗日乘子的程序与上述对NLC计算的讨论类似。对于计算应力因子中的步骤9，这里假设应力矢量为σ＝{p,1,1}，其中p≥1。通过设定β_L3＝0和β_L2＝0，应力因子为

该公式用于修正拉格朗日函数(如下)

该函数用于计算外循环中的后续的迭代的灵敏度。

实例：

实例1–具有球形空穴的立方基本胞元

如图1A的(A)和图1B的(A)所示，通过在立方体内部生成中空的球形腔来形成用于该示例性3D拉胀超材料的基本胞元的几何形状。重复各个构建胞元以分别形成图1A的(B)和图1B的(B)中所示的3D蜂窝材料。通过以下方式构造实验性的超材料块：沿三个垂直方向重复九个构建胞元并且将每个方向上的两端的胞元切半。使用具有硅酮基橡胶材料(TangoPlus)和支撑材料的3D打印(ObjetConne×350)制造3D材料块的各个试样。

根据屈曲之后的变形模式，代表性体积元(RVE)包含如图1A的(C)和图1B的(C)所示的四个构建胞元。根据球体的直径与立方体的长度的比(R)，确立了两个所产生的几何形状：

(1)用作本发明的对比用设计的符合0<R<1的面心立方胞元(图1A的(A))；以及

(2)包括根据本发明的实施例的超材料的符合1<R<2的本发明的立方体胞元(图1B的(A))。

发现该单位胞元的孔隙率在0.69至0.97的范围。

通过用六个打印出的柱体进行标准压缩试验直至真实应变ε＝0.70，来测量打印用TangoPlus材料的材料性能。使用有限元分析将各3D材料及其对应变和压缩的响应也都建模为线弹性模型。图4中提供了实验(A)与模型(B)之间的变形模式的对比。图5A和图5B示出了实验(A)与模型(B)之间的力-位移曲线的对比。

结果表明，通过线弹性模型可以精确地表示对比用面心立方胞元和本发明的立方胞元的本构行为。应当注意，打印用TangoPlus材料轻微地表现出杨氏模量的各向异性行为：沿打印方向的杨氏模量为0.925±0.02MPa，稍微地低于沿侧向的杨氏模量1.05±0.03MPa。已发现面心立方胞元的泊松比为+0.47。

使用与其它蜂窝材料常用的试验类似的标准压缩试验来试验本发明的3D立方超材料的性能。为得到可靠的均匀化(homogenized)的材料性能，试验试样的尺寸选择为高度×宽度×深度＝100.0×100.0×100.0mm。这样生成了如图1B的(B)所示由沿每个法线方向具有八个构建胞元的矩阵构建成的材料。

图2示出了本发明的立方胞元的两个样本。左边的样本(A)仍包括用于3D打印的支撑材料。右边的样本(B)已将支撑材料去除。尽管在去除支撑材料的期间格外地小心，但仍会损坏材料块中的一些最薄弱的连结部。可使用环氧胶粘剂来修复该损坏。

在(1)对比用面心立方胞元与(2)本发明的立方胞元之间进行对比性的压缩试验。使用岛津机器(Shimazu machine)在固定的应变率10^-3s^-1下实施压缩试验。使用两台照相机对沿两个侧方向的变形进行拍摄，从而确定超材料的泊松比的演进。对于由对比用面心立方构建胞元形成的试样，端部应变固定为不超过名义应变0.3，并且对于具有本发明的立方构建胞元的试样，端部应变固定为不超过名义应变0.5，以避免潜在的试样损坏。已发现，在这些应变范围内，变形是纯粹弹性的并且是完全可逆的。

如图3A的(a)所示，由对比用面心立方构建胞元构成的材料块仅在非常大的应变(0.25)下表现出整体屈曲。此外，如图3B所示，在发生屈曲之前应力-应变曲线为线性的。未观察到有明显的拉胀行为。申请人注意到，该类型的材料未出现与例如Overvelde等人(Compaction Through Buckling in 2D Periodic，Soft and Porous Structures:Effect of Pore Shape.Advanced Materials.2012；24:2337-2342)所报告的2D NPR材料类似的伴随交替椭球体(alternating ellipsoids)的局部屈曲模态。

由本发明的立方构建胞元构成的材料块显示出伴随交替椭球体的局部屈曲模态。因此，如图3A的(b)所示该材料形成有可清晰地观察到的拉胀行为。此外，本发明的超材料沿D1和D2两个不同方向的力-位移响应(图3C中所示)也显示出了可观察到的拉胀响应。

由面心立方构建胞元形成的材料与由本发明的立方胞元形成的材料的不同屈曲行为表明，期望的屈曲模态存在临界的孔隙率或体积分数。就此而言，当材料(例如面心立方构建胞元材料)的孔隙率低于0.60时，不可能产生拉胀行为。申请人意外地发现，3D材料表现出拉胀行为所必须的孔隙率至少为0.6，优选地在0.6与0.9之间。

实例2–机制分析(屈曲模态)

使用商业有限元(FE)软件包ABAQUS(Simulia、Providence、RI)执行数值仿真以确定在实例1中讨论的本发明的超材料中所观察到的拉胀行为的机制。

采用ABAQUS/标准求解器(standard solver)进行屈曲分析并且采用ABAQUS/显式求解器(explicit solver)进行后屈曲分析。使用具有中等精度(具有0.4mm的网格扫描种子尺寸的单元类型C3D10R)的二次实体单元。在单轴压缩下实施分析。将来自屈曲分析的具有3D交替椭球体模式的屈曲模态用作用于非线性(大变形)的后屈曲分析的形状变化或不完全性(imperfection)因子。使用实验结果来验证有限元模型。

图4示出了分别来自数值模拟和实验结果的超材料沿一个方向的变形过程的对比。实验结果(A)和模型行为(B)均以类似的方式表现出拉胀行为。显而易见的不同点在于样本中心的代表性体积单元(用点标记)的椭球体的长轴。其它侧向方向保留有类似之处。根据线性屈曲分析，这两个不同的变形模式具有几乎完全相同的特征值。基于该分析，发明人考虑到通过初始几何形状的不完全性来确定屈曲之后的实际变形模式。

发现屈曲模态受FE模型的边界条件影响。对两个边界条件进行研究。一个边界条件约束顶表面和底表面上的节点的除顶表面上的节点的沿载荷方向的自由度以外的所有自由度，而另一个边界条件仅约束底表面上的节点沿载荷方向的自由度。对于前一个边界条件中，来自数值模拟的第一屈曲模态表现出伴随交替椭球体的局部屈曲。对于后一个边界条件中，第一屈曲模态表现出与Willshaw和Mullin(Soft Matter.2012，8，1747)之前观察到的变形模式类似的平面模式。3D屈曲模式以第五屈曲模态的形式出现。

从图4还可以观察到，在屈曲发生前的压缩试验的早期阶段，试样的变形是均匀的。材料表现得像具有正泊松比的常规材料。仅在屈曲发生之后，拉胀行为变得明显，这表明在变形过程期间负泊松比的值发生变化。这可能不利于所需的负泊松比的应用。

实例3–具有卵形成形空穴的立方基本胞元

如图6所示，为克服实例1和实例2中的屈曲缺点，通过在立方体内部生成中空的卵形体空腔来形成用于该示例性3D拉胀超材料的基本胞元的几何形状。所设计的卵形体包括在实例1和实例2中所讨论的材料中所使用的球形空穴的形状中的8％的不完全性。另外，材料中的基本单元的矩阵排列为使得每个基本单元的卵形体空穴的中心长轴与每个相邻的基本单元的卵形体空穴的中心长轴垂直。这样，实际上，将在实例1和实例2中看到的屈曲模态的模式引入到本实施例的超材料的空穴模式中。已发现实例1的单位胞元的孔隙率为87.4％且实例2的孔隙率为87.2％。

图5中示出了实验与数值结果之间的名义应力-应变曲线的直接对比。两个曲线均表现出类似的趋势并且相应的应力处于类似的等级。这说明实验结果与有限元模型之间基本一致。注意到，实验结果中的较低应力等级可归因于在去除支撑材料的过程中连结部的破损。本发明的超材料的应力-应变曲线与经历塑性变形的其它蜂窝材料类似，而不同点在于本发明的超材料的变形是纯粹弹性且完全可逆的。这似乎要归因于所使用的基材的性能。

图6示出了所推荐的具有(空穴的球形的)8％的不完全性的超材料的整体变形，并且可以清楚地看出拉胀行为从一开始就开始了。

申请人观察到如果增加球体形状的空穴中的不完全性的大小(从而卵形体空穴的形状改变或变扁)，则可以改变材料的泊松比，从而有效地将材料的泊松比定制为期望的值。这将产生一系列具有规定的初始负泊松比值的本发明的立方3D超材料。该方法提供了用于产生一系列具有期望的负泊松比的初始值的3D材料的全新的途径。

应注意，本发明的超材料的基本胞元与代表性体积元的体积分数随不同的不完全性大小而变化。因此，可考虑将该方法与初始几何形状设计进行组合以设计具有期望的体积分数的超材料。

上文显示出，使用通过有限元分析得到的屈曲模态可以定制基本单元的构造、空穴几何形状以及由基本单元形成的矩阵的模式。将屈曲模式引入材料的矩阵并且改变球体形状的空穴中不完全性的大小，能够提供将泊松比的初始值定制在0至-0.5的范围内的手段。

实例4–具有四面体形或椭球形的成形空穴的立方基本胞元

也可以使用具有诸如四面体形或椭球形等其它空穴形状的立方基本胞元来形成本发明的超材料。

图7A提供了具有位于立方构建胞元中的四面体的三维结构化多孔超材料的几何构造。图7B提供了具有位于立方构建胞元中的椭球体的三维结构化多孔超材料的几何构造。如图7A的(A)和图7B的(A)所示，通过在立方体内部生成中空的四面体或椭球体的空腔来形成用于该示例性3D拉胀超材料的基本胞元的几何形状。重复各个构建胞元以分别形成图7A的(B)和图7B的(B)中所示的3D蜂窝材料。图7A的(C)和图7B的(C)示出了本发明的超材料的代表性体积单元。

发现，在图7A中该类型的单位胞元的孔隙率为0.63(在0.5至0.91的范围内)，而在图7B中为0.69(在0.6至0.97的范围内)。

试验表明，该材料具有与前述具有球形空穴的基本胞元类似的变形行为。图8A提供了在载荷下的图7A所示的超材料的变形模式。图8B提供了在载荷下的图7B所示的超材料的变形模式。图8A和图8B所示的变形模式示出了与前述具有球形空穴的实例的立方基本胞元类似的行为。

实例5–在均匀压力下具有负线性压缩(NLC)的超材料

可以使用与由双向渐进结构优化(BESO)生成的拓扑类似的框架形成本发明的负压缩(NC)超材料。

图9提供了用于产生具有NLC的三维结构化多孔NC超材料的几何构造。图9的(A)提供了由BESO得到的拓扑。通过将图9的(A)中的不规则部件简化为具有变截面积的架构且使截面积在跨度中间处达到最大，从而形成用于该示例性3D NC超材料的构建胞元的几何形状。图9的(B)中示出了经简化的构建胞元。重复各个构建胞元以分别形成图9的(C)中所示的3D蜂窝材料。已发现该单位胞元的孔隙率为0.902。

如图9的(A)所示，如之前关于NLC优化所讨论的那样，NLC超材料的基本形式由BESO运算得出。

在本实例和后续实例的这些运算中，使用ABAQUS版本10.1来实施有限元分析。由于正交各项异性材料沿三个方向的对称性，仅需要对八分之一的单位胞元进行建模。将八分之一模型划分成30×30×30的块单元(单元类型：C3D8)的网格。基于曲线和曲面拟合使产生的拓扑平滑化。目标体积V为30％。表示可压缩性的单位为Pa^-1。

对于BESO运算，基材为E_b1＝10^-15(空穴)和E_b2＝1(实体)。为表示敏感的(impressible)基材(诸如硅橡胶等)，假设泊松比v_b为0.49。注意到，对于给定的目标体积V(与当单位胞元的全部体积为1时的体积分数相同)，沿单轴能够达到的最大刚度为E_max＝VE_b2。然后将刚度目标指定为E^*＝aE_max＝aVE_b2，其中a为规定的刚度比。刚度比a等于0.10。因此，E^*＝aVE_b2＝0.10×0.3×1＝0.030。

图9示出了具有与架构状系统类似的拓扑的单位胞元的结果。线性可压缩性β_L3为-17.53°此外：

β_L1＝β_L2＝27.67，β_L3＝-17.53，E₁＝E₂＝0.030，E₃＝0.037，v₁₂＝-0.497，v₂₃＝v₁₃＝0.666

程序设计了优化的成形空穴，该空穴包括规则但复杂的形状，提供了架构结构中的切口孔，以及开口端。

为验证上述材料性能，在由上述拓扑的8×8×8的单位胞元构造的模型上实施应力试验的数值模拟。将模型的尺寸大小重新调整为100mm×100mm×100mm并且用7424二次四面体单元(ABAQUS单元类型C3D10I)进行网格划分。通过附接在六个面上的刚性板来施加静压力P＝-1.44×10^-3。提取刚性板的位移，然后计算应变，分别得出ε₁＝ε₂＝-41.39×10^-3和ε₃＝24.69×10^-3。通过压力P对这些应力进行归一化(Normalizing)，从而给出以下线性可压缩性的值：β_L1＝β_L2＝28.74并且β_L3＝-17.15，这些值与计算值非常接近，差值小于4％。该差异归因于用于单位胞元和8×8×8胞元的阵列的不同的有限元模型。

试验表明该超材料在压力作用下沿一个方向膨胀的同时沿其它两个方向收缩。在这些试验中，通过假设具有0.49的泊松比的几乎不可压缩的基材来获得图9中所示的NLC设计。由该拓扑的8×8×8单位胞元来构造材料块模型。将模型的尺寸大小重新调整为100mm×100mm×100mm。使用3D打印机(Object Connex350)，以硅酮基橡胶材料(TangoPlus)和低密度的支撑材料来制造原型模型。在小心地将支撑材料去除后，得到图10的(A)所示的NLC材料设计。在下面的讨论中，X、Y和Z方向分别对应于轴1、2和3。通过在三个打印出的柱状样本上试验标准压缩直至真实应变为0.70，来测量TangoPlus材料的材料性能。结果表明，通过线弹性模型可以精确地表示基材的本构行为。已发现杨氏模量为1.05MPa并且泊松比为0.48。将这些值用于下文描述的FE模拟中。

单轴压缩试验

分别沿X、Y或Z方向实施单轴压缩试验。从这些实验中可以获得关于材料块的有效(平均)柔度矩阵。另外，通过经由两个刚性板施加单向压力来执行对具有8×8×8胞元的材料块模型的线弹性有限元分析。从FE结果中，也可以计算出材料的有效柔度矩阵。表1中给出了来自实验和FE结果的关于单位胞元的柔度矩阵以及关于具有8×8×8胞元的模型的有效柔度矩阵(全都相对于杨氏模量进行了归一化)。

表1

可以看出FE结果与实验数据相当一致。

注意到，关于单位胞元的C矩阵和关于8×8×8胞元(FE结果)的C矩阵也是类似的。差异主要归因于不同的边界条件。对于单位胞元，应用周期性边界条件；而对于材料块模型，顶表面和底表面上的全部节点仅被允许沿载荷方向移动。

三轴压缩试验

为了检验均匀压力下的NLC设计的行为，使用通常用于土壤试验的标准三轴试验机来执行三轴压力试验。首先将原型放进连接有2mm直径的塑料管的密封塑料袋中。在塑料袋的外表面上施加均匀压力期间，通过塑料管将材料块内部的空气压出。将均匀压力逐渐地从0kPa增加至5kPa。在图10的(A)中示出了在5kPa时材料的最终变形形状。可以看出，在均匀压力下原始立方体变得更窄和更高–NLC作用的明显迹象。

实施三轴试验的有限元模拟。为获取在实验中所观察到的大变形，执行考虑到大变形的非线性有限元分析。假设基材为线弹性的，杨氏模量为E₀＝1.05MPa且μ₀＝0.48。使用膜单元对塑料袋进行建模，其中厚度t＝0.2mm，杨氏模量E_m＝6MPa且μ_m＝0.48。图10的(B)中示出了来自FE模拟的在5kPa时的模型的变形形状，该模型的变形形状与图10的(A)所示的实验结果非常类似。此外，图10的(C)中示出了来自实验和FE模拟的沿X方向和Z方向的平均应变。实验数据与FE结果相当一致。

实例6-在均匀压力下具有负面积压缩(NAC)的超材料

图11提供了用于具有NAC的三维结构化多孔负压缩超材料的几何构造。图11的(A-半胞元)和图11的(B-全单位胞元)提供了从如之前关于NAC优化运算所讨论的双向渐进结构优化(BESO)获得的拓扑。

发现该单位胞元的孔隙率为0.696。

在BESO运算中，假设基材具有E_b1＝10^-15以及常见的泊松比并且刚度比a＝0.05。所计算的参数为：

β_A23＝-9.534,β_L2＝β_L3＝-4.767，E₁＝0.015，E₂＝E₃＝0.131，v₁₂＝v₁₃＝0.195，v₂₃＝-0.098

图11的(A)和图11的(B)中示出了所产生的拓扑。该拓扑关于与平面2-3垂直的45度平面而对称。沿轴1的刚度为E₁＝0.015，其与实例5中的NLC设计的刚度相同，这是由于两个设计具有相同的刚度约束。NLC设计的可压缩性β_L3等于-44.21，与之相比，这里β_L3＝β_L2＝-4.767。注意到，NAC材料的可压缩性的绝对值明显小于之前的实例中所讨论的NLC材料，即使它们在一个方向上具有相同的刚度。程序设计了优化的成形空穴，该优化的成形空穴包括形成复杂形状的立方基本单元内的多个空穴。就此而言，优化的成形空穴(优化形状的空穴)包括形成基本构建胞元的拓扑的两个内部空穴和三个外部空穴。

通过将图11的(B)中的不规则部件简化为具有变截面积的架构且使截面积在跨度中间处达到最大，形成用于该示例性3D NC超材料的构建胞元的几何形状。图11的(C)中示出了经简化的构建胞元。重复各个构建胞元以分别形成图11的(D)中所示的3D蜂窝材料。

实例7-在均匀压力下具有零线性可压缩性(ZLC)的超材料

图12提供了用于具有ZLC的三维结构化多孔负可压缩性超材料的几何构造。图12的(A-半胞元)和图12的(B-全胞元)提供了根据双向渐进结构优化(BESO)而得到的拓扑。

在BESO运算中，实例5中所提供的程序被用于确定ZLC设计。被设计为线性可压缩性受到约束(即β_L3＝0)的材料示出于图7，其具有6.33的应变能。线性可压缩性β_L3等于-0.002，非常接近于零。程序设计了优化的成形空穴，该优化的成形空穴包括形成复杂形状的立方基本单元内的多个空穴。就此而言，优化的成形空穴包括形成基本构建胞元的拓扑的两个内部空穴和至少三个外部空穴(侧)。

所计算的参数为：

β_L3＝-0.002，E₁＝E₂＝0.087，E₃＝0.094，v₁₂＝-0.020，v₂₃＝v₁₃＝0.466

通过将图12的(B)中的不规则部件简化为具有变截面积的架构且使截面积在跨度中间处达到最大，形成用于该示例性3D NC超材料的构建胞元的几何形状。图12的(C)示出了经简化的构建胞元。重复各个构建胞元以分别形成图12的(D)中所示的3D蜂窝材料。

发现该单位胞元的孔隙率为0.854。

实例8-在均匀压力下具有零面积可压缩性(ZAC)的超材料

图13提供了用于具有ZAC的3D结构化多孔负可压缩性超材料的几何构造。图13的(A-半胞元)和图13的(B-全单位胞元)提供了根据BESO得到的拓扑。

在BESO运算中，材料遵循与ZLC实例(实例7)相应的程序被设计为ZAC标准。结果示出在图13的(A)和图13的(B)中。所计算的参数为：

β_A23＝-0.002,β_L2＝β_L3＝-0.001,E₁＝0.033,E₂＝E₃＝0.098,v₁₂＝v₁₃＝0.272,v₂₃＝0.186

应变能为7.00，其高于ZLC的应变能(6.33)。这是由于与ZLC设计相比在β_L2上具有附加约束。面积可压缩性β_A23等于-0.002，这与图11(实例6)所示的NAC设计(-25.40)相比(就其绝对值而言)小到可以忽略。程序设计了优化的成形空穴，该优化的成形空穴包括形成复杂形状的立方基本单元内的多个空穴。就此而言，优化的成形空穴包括形成基本构建胞元的拓扑的内部空穴和至少两个外部空穴(侧)。

发现该单位胞元的孔隙率为0.893。

通过将图13的(B)中的不规则部件简化为具有变截面积的架构且使截面积在跨度中间处达到最大，形成了用于该示例性3D NC超材料的构建胞元的几何形状。图13的(C)中示出了经简化的构建胞元。重复各个构建单元以分别形成图12的(D)中所示的3D蜂窝材料。

与本发明的材料的性能有关的几个特殊特征：

·本发明的超材料的实施例的变形和其它弹性体一样是纯粹弹性和完全可逆的，但我们的NPR超材料的应力-应变曲线表现出如同经受塑性变形的其它蜂窝材料那样的平台特征。本发明的超材料的负泊松比在所施加的应变的较宽的范围内得到保持，并且通过初始体积分数和不完全性的大小可以更改该范围。

·所提出的设计方法可以应用于任何长度尺度。该长度尺度可以扩展以便以最小尺度调整材料的其它性能。

·本发明的超材料还可以与刺激响应性材料结合以在不同变形模式之间进行切换。

本发明的材料可以用于制造传感器，致动器，假体，外科植入物，锚状物(例如用于缝线、肌腱、韧带或肌肉)，紧固件，密封件，软塞，过滤器，筛，缓冲器，冲击减轻材料、混合物或结构，冲击吸收或缓冲材料、混合物或结构，波传播控制材料、混合物或结构，抗爆材料、混合物或结构，微机电系统(MEMS)元件和/或支架。

本发明在生物医药领域的应用包括与假体材料，外科植入物，用于缝线和肌腱的锚状物，内窥镜检查以及支架相关的使用。

本发明在机械/电子领域的应用包括在压电传感器和致动器、护具、缓冲器、抗冲击和抗爆材料(如用于基础建设的可展开材料和防护材料)、过滤和筛分领域、紧固件领域、密封和软塞领域以及微机电系统(MEMS)领域中的使用。

在一个示例性实施例中，本发明的超材料可以形成为用在椎间盘置换术中的生物相容性聚合物。在一些形式中，空穴的构造和图案可以设计为允许流体流动。流体可以用作材料内的阻尼机构。

由于通过负线性可压缩性与大的体积可压缩性的组合实现较高的灵敏度，因此NLC/NAC超材料的直接应用是干涉式压力传感器中的光学元件。

NC超材料的一个重要的应用是用作使用NPWT系统的OA处理手术的插入泡沫。NC超材料在负压力下将保持其高度但又侧向地收缩，从而能够使OA创伤直接闭合而无需使用侵入式医疗设备。

随着对负可压缩性的机制的进一步理解，NLC/NAC材料还具有下述潜力：用作有效的生物结构、纳米致动器或用于不期望的潮湿引起的混凝土/泥土基工程材料的膨胀的补偿器。

在示例性实施例中，本发明的超材料可以用在防护工程的新型智能护具中或引爆装置和炮弹的爆炸控制中。在一个实施例中，本发明的材料由钛或钛合金的基本单元矩阵形成。材料可以用于撞击点处的压缩，从而提供轻型护板。

在又一个示例性应用中，材料可以用作用于机动车辆的具有提高的能量吸收性的轻型蜂窝材料。

本领域的技术人员应能理解，可以对在本文中披露的本发明做出与以上具体描述的内容不同的修改和变型。应当理解的是：本发明包括任何落入本发明的要旨和范围内的修改和变型。

在本说明书(包括权利要求书)使用术语“包括”、“具有”的情况下，该术语应当被解释为指明所涉及的特征、整体、步骤或部件的存在的但是不排除一个或多个其他特征、整体、步骤、部件或其组合的存在。